Autor Tema: Aritmética de módulos y aplicación a criterios de divisibilidad

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06 Junio, 2010, 06:57 am
Respuesta #20

argentinator

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si \( mcd (x,y)=1 \) entonces \( x\mid z\quad\wedge\quad y\mid z \quad\Longleftrightarrow\quad xy\mid z \)


Esa propiedad andaba buscando en mi cabecita, y no me acordaba cuál era.
Gracias.

La agregaré.

06 Junio, 2010, 06:59 am
Respuesta #21

pepito

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Exacto (a ambos mensajes). Y otra de divisibilidad: \( a\mid bc\quad\wedge\quad (a:b)=1\quad\Rightarrow a\mid c \). Estas salen todas de la factorización en primos... pero buen, no me parece que esté de más listar las más importantes.
"...parecido pero nada que ver"

06 Junio, 2010, 07:04 am
Respuesta #22

argentinator

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No, no está de más.
Pero en todo caso estaría bueno respetar el orden en que se suelen demostrar estas propiedades.

Yo me puse a escribir como loco, poniendo cosas "ciertas", pero el orden de los resultados... mmm

Por ejemplo, el teorema que dice que hay infinitos primos. ¿Necesita que esté demostrado previamente que un número compuesto, es divisible por algún primo?

06 Junio, 2010, 07:19 am
Respuesta #23

pepito

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Una más mientras que pienso lo que dijiste:

\( p \) es primo o 1 o -1 si y sólo si vale la implicación \( p|ab\quad\Rightarrow\quad p|a\quad\vee\quad p|b \)

(y hay quien define así los números primos, y da el nombre de "irreducibles" a los que cumplen la definición más convencional (para mantener la nomenclatura de los anillos)).
"...parecido pero nada que ver"

06 Junio, 2010, 07:27 am
Respuesta #24

argentinator

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En Z, primos e irreducibles es lo mismo.
No sé si complicar en este hilo las cosas por ese lado.

Pero el resultado ese se puede agregar, sin hablar demasiado de "irreducibilidad".
Aunque la sutileza apareció cuando puse el Lema que dice que todo número tiene un divisor primo.

 ::)

Lo que sí tengo claro es que este hilo tiene que quedar como un "recetario" completo de teoría de números en Z.

Pero no quiero ir demasiado más allá en la terminología o las ideas, para no confundir innecesariamente a quien no le interese más que la cuestión de "dividir en Z".


06 Junio, 2010, 07:31 am
Respuesta #25

pepito

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En cuanto a lo anterior, si vos querés usar esa demostración me parece que necesitás el lema que vos pusiste justo antes de ese teorema. No que todo número compuesto es divisible por un primo, sino que todo entero distinto de 1, 0 y -1 es divisible por algún primo. Probás que \( p=1-p_1...p_n \) no es 0, 1 ni -1, y que entonces es para algún k, \( p_k|p \). Como también es \( p_k|p_1...p_n=p-1 \), entonces \( p_k|p-(p-1)=1 \)*, entonces \( p_k \) es una unidad, lo que no puede ser porque es primo.

Pero, podría haber otra demostración que no use este hecho, no sé.

*Es otra propiedad que se podría agregar, \( a|b\quad\wedge\quad a|c\quad\Rightarrow\quad a|nb+mc\quad\forall m,n\in\mathbb{Z} \)
"...parecido pero nada que ver"

06 Junio, 2010, 07:32 am
Respuesta #26

pepito

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En Z, primos e irreducibles es lo mismo.
No sé si complicar en este hilo las cosas por ese lado.

Nah, definirlo así es innecesario, seguro. Digo, para agregarlo como propiedad.
"...parecido pero nada que ver"

06 Junio, 2010, 07:38 am
Respuesta #27

argentinator

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Bien.
Iré haciendo los nuevos cambios cuando tenga los párpados más arriba, jeje.

Después habrá que agregar propiedades de prrmos, teoremas de Wilson, Fermat, las funciones que cuentan coprimos, y un largo etc... jeje

Hay mucho que decir, aún en las cuestiones básicos de teoría de números.
Pero va a quedar bueno, mejor que la Wikipedia espero.

Y si podemos de a poco ir agregando algunas demostraciones y ejercicios...

Buenas noches

12 Junio, 2010, 06:29 pm
Respuesta #28

cuberomeli23

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Sería interesante un espacio para raices primitivas o logartimos discretos ;)

31 Julio, 2011, 05:35 am
Respuesta #29

Virgi7

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Más que interesante el thread.

Me surgió una duda con respecto al criterio de divisibilidad por 7. Encontré que un número es divisible por 7 si al multiplicar por 2 la cifra de las unidades y al resultado se lo restamos al número que forman las restantes cifras, se obtiene 0 o múltiplo de 7.

Sea el número \( m=c_0 10^0+c_1 10^1+c_2 10^2+c_3 10^3+c_4 10^4+c_5 10^5+c_6 10^6+...+c_n 10^n \)  (*)

De acuerdo a las congruencias módulo 7 de las potencias de 10, resulta que

\( m\equiv c_0+3c_1+2c_2-c_3-3c_4-2c_5+c_6+3c_7+...\pmod{7} \)

De esto m es divisible por 7 si \( c_0+3c_1+2c_2-c_3-3c_4-2c_5+c_6+3c_7+... \) también lo es.

Ahora bien, quisiera transformar esta expresión en otra equivalente de modo que se cumpla el criterio de divisibilidad expresado más arriba.

Para ello, multiplico por 3 esta expresión. Queda:

\( 3c_0+2c_1-c_2-3c_3-2c_4+c_5+3c_6+2c_7+... \)

Y la resto de la expresión decimal de partida de m (*):

\( c_1+c_2 10+c_3 10^2+c_4 10^3+c_5 10^4+...+c_n 10^{n-1}-2c_0 \)

que es a lo que quería llegar.

Entonces puedo decir que

\( m\equiv c_1+c_2 10+c_3 10^2+c_4 10^3+c_5 10^4+...+c_n 10^{n-1}-2c_0\pmod{7} \)


Mi pregunta: ¿es correcto lo que hice? Si no lo fuera, ¿cuál es el error? Ojalá puedan ayudarme a despejar la duda. Gracias.

31 Julio, 2011, 05:46 am
Respuesta #30

argentinator

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No entiendo lo que has intentado hacer.

Estás partiendo de suponer que \( (m-c_0)/10 - 2c_0 \) es múltiplo de 7,
y de ahí querrías probar que m es múltiplo de 7.

¿Y entonces?

30 Junio, 2017, 11:10 am
Respuesta #31

Ignacio Larrosa

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Sección 4. Criterios de Divisibilidad

Divisibilidad por 11

Aquí tenemos \( \alpha=0 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_{11} 10 \), \( 100\equiv_{11} 1 \), y luego estos restos se repiten cíclicamente.

\( m\equiv_{11} \sum_{\beta=0}^\infty \sum_{j=0}^1 c_{2\beta+j}r_j, \)

donde \( r_0=1, r_1=10 \).

Esto demuestra que  \( m \) es divisible por 11 si y sólo si la suma de sus cifras pares más 10 veces la suma de sus cifras impares \( m \) es múltiplo de 11.
Este criterio puede simplificarse un poco usando números negativos.
En efecto, observemos que \( 10\equiv_{11}{-1} \). En ese caso, podemos tomar \( r_1=-1 \) en la fórmula anterior, y obtenemos el conocido criterio que dice que \( m \) es múltiplo de 11 si y sólo si lo es la suma de sus cifras pares menos la suma de sus cifras impares.

Esto mismo se puede aplicar para la divisibilidad por \( b + 1\textrm{ en base }b \):

\( m\equiv_{b+1} \sum_{\beta=0}^\infty (-1)^{\beta} c_{\beta} \)

Para nuestra aritmética habitual en base \( 10 \) esto es interesante cuando \( b = 10^k,\; k\geq{}1 \). Par \( k = 1 \) es el conocido criterio de divisibilidad por \( 11 \).

Para \( k = 2 \) tenemos un criterio de divisibilidad por \( 101\textrm{ en base }100 \), que traducido a base \( 10 \) queda en sumar y restar alternativamente las cifras del número agrupadas de dos en dos, de derecha a izquierda.

Más interesante es el caso \( k = 3 \), pues \( 1001 = 7\cdot{}11\cdot{}13 \). Para saber si un número es divisible por \( 7, 11\textrm{ o }13, \) basta agrupar sus cifras de tres en tres a partir de las unidades y sumar y restar estos grupos alternativamente. Si el resultado es divisible por \( 7, 11\textrm{ o }13, \) el número de partida también lo será. Puede pensarse que no es muy práctico, pero en ocasiones si que lo es, como por ejemplo para los años:

¿Cuál es el resto de dividir \( 2017\textrm{ entre }7, 11\textrm{ y }13 \)?  Como

\( 2017\equiv_{1001}-2 + 017 = 15 \)

los restos de dividirlo por \( 7, 11,\textrm{ y }13 \) son respectivamente \( 1, 4\textrm{ y }2 \), y no es múltiplo de ninguno de ellos.

En cambio,

\( 2093\equiv_{1001}-2 + 093 = 91 = 7\cdot{}13 \)

por lo que \( 2093 \) es múltiplo de \( 7\textrm{ y }13 \), aunque no de \( 11 \). Quizás le resulte de utilidad a alguno en unas olimpíadas matemáticas del año \( 2093 \) ...

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)