Para el ejercicio 1.7: Definir \( F=\{x|x\in A\textsf{\ y\ }(x\in B \Rightarrow{}x\in C)\} \) en términos de \( A,B,C \) usando \( \cup{},\cap{},- \). Lo que hecho es usar equivalencias lógicas de esta forma:
Sean: \( p:=x\in{A}\quad q:=x\in{B} \quad r:=x\in{C} \), luego \( p\wedge (q\Rightarrow{r})\Longleftrightarrow{}p\wedge (\sim{q}\vee r)\Longleftrightarrow{}(p\wedge\sim{q}) \vee (p\wedge r) \) y después me devolví al lenguaje conjuntista con las definiciones de unión, intersección, diferencia, y concluí que \( F=(A-B)\cup{}(A\cap{}C) \). ¿Es este procedimiento válido y la respuesta correcta?
El procedimiento es válido, y la respuesta es correcta.
Pero puedo observar dos cosas.
1ro) Estamos suponiendo, de algún modo, un uso algo "informal" de la lógica.
La lógica de la teoría de conjuntos es de 1er orden, y lo que has usado es lógica proposicional.
Sin embargo, como has trabajado con una sola variable x, como si fuera una constante, digamos que funciona.
En general, ese método de trabajo funcionará bien, y aunque por ahora no me interesa profundizar en cuestiones rigurosas de lógica, más adelante puede hacerse.
Así que dentro de esa "informalidad", el procedimiento que has empleado es correcto.
No obstante, para evitar andar caminando demasiado en "tierra informal",
yo diría que sería mejor evitar lo más posible realizar "operaciones" en el mundo de la lógica,
ya que, aunque te van a conducir a resultados correctos,
resulta que estarías trabajando "por fuera" (por decirlo de algún modo) de la teoría de conjuntos.
2do) Para ese fin, hay que recordar lo que significa la flechita de implicación.
Se tiene que:
\( p \Rightarrow{ q} \) si, y sólo si, \( \sim{p}\vee q \).
De esta manera, reducimos todo a las operaciones básicas de: disyuncion "ó", conjunción "y", y negación.
Te voy a plantear dos caminos que se me ocurren a mí, el primero no muy bueno,
pero cuya discusión lleva al segundo método.
Nos quedaría algo así:
\( F=\{x:x\in A \textsf{\ y\ }(x\in B\Rightarrow{x\in C})\} \), luego
\( F=\{x:x\in A \textsf{\ y\ }(x\not\in B \textsf{\ ó\ }{x\in C})\} \),
luego aplico directamente definición de intersección, para evitar "logicolandia", y hago:
\( F=A\cap \{x: x\in B \textsf{\ ó\ }{x\in C} \} \),
luego aplico definición de unión:
\( F=A\cap (\{x: x\not\in B \}\cup C) \).
Acá el único problema es que no existe el conjunto \( \{x: x\not\in B \} \).
En la teoría ZFC eso no tiene sentido, porque el complemento de un conjunto es una clase propia,
que no es un conjunto.
Una solución posible es pensar que estamos trabajando con conjuntos A, B, C, incluidos dentro de algún conjunto bastante grande X.
En ese caso, el complemento se definiría respecto a X, y no nos saldríamos de la teoría de conjuntos.
Podríamos así escribir:
\( F=A\cap (B^c\cup C) \).
Donde \( B^c=X\setminus B \).
Finalmente, seguiríamos operando hasta quitar el complemento y llegar a tu expresión.
Pero operaríamos sólo con "conjuntos", sin pasar por operaciones lógicas:
\( F=A\cap (B^c\cup C)=(A\cap B^c)\cup(A\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\cup C) \).
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Pero fijate que hice algo de "trampa" en lo anterior,
porque tuve que introducir un extraño conjunto X para definir complementos.
Aunque esto es práctica usual, para el ejercicio en cuestión queda medio "feo",
y conviene arrancar de modo más parecido a lo que vos hiciste: trabajando un poco todavía con lógica.
De este modo, uso la lógica mientras tenga una negación "molesta",
quiero decir, una "negación que no soy capaz de escribir como resta de conjuntos".
Veamos:
\( F=\{x:x\in A \textsf{\ y\ }(x\not\in B \textsf{\ ó\ }{x\in C})\} \),
hacemos un paso "lógico" más (no conjuntístico):
\( F=\{x:(x\in A \textsf{\ y\ }x\not\in B )\textsf{\ ó\ }(x\in A \textsf{\ y\ }{x\in C})\} \),
y ahora pasamos directamente a usar conjuntos:
\( F=\{x:(x\in A \textsf{\ y\ }x\not\in B )\}\cup \{ (x\in A \textsf{\ y\ }{x\in C})\} \),
\( {}\quad =(A\setminus B)\cup (A\cap C) \).
En este último procedimiento hemos evitado introducir un conjunto X "grande",
y no hemos tenido que lidiar con "clases propias" ni nada "espinoso".
Pero los temas "espinosos" siempre están.
A mí me parece que lo interesante de todo esto son las discusiones que surgen,
porque nos hacen reflexionar y eso es lo que seguridad en los procedimientos.
El problema de que no hay un "conjunto de todos los conjuntos",
junto al hecho de que hay que usar "complementos" todo el tiempo,
y que los complementos absolutos se tomaría respecto al "conjunto de todos los conjuntos",
nos obliga a andar con cuidado a cada paso.
Es lo mismo que la precaución de no dividir por 0 en las expresiones algebraicas:
* No se pueden tomar complementos, a menos que sean relativos a un conjunto X claramente especificado.
