Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación del Curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

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24 Julio, 2011, 08:41 pm
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argentinator

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Este es el thread de "trabajo" del curso Teoría de Conjuntos 2011 - 2013,
que está en estas direcciones:

Organización e inscripción al curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

Dictado del Curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

Para hacer cualquier consulta, duda, pregunta, comentario, sugerencia, o lo que deseen, deben postear respondiendo en este thread.



Conocimientos previos requeridos para iniciar el curso: Voy a tratar de que sea llevadero para todo tipo de público. No obstante, es recomendable tener algo de práctica en cuestiones elementales de matemática, como aritmética y álgebra.


25 Julio, 2011, 10:40 pm
Respuesta #1

Máthêma

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Hola,

Bueno, pues ya me han surgido unas dudas:

Citar
Pregunta-ejercicio Anexo.1.4.1: ¿Cómo se puede particionar [X] respecto una familia finita de subconjuntos \( A_1,A_2,\cdots,A_n \) ?
¿En este se pretende que reflexionemos y encontremos  una expresión para una partición  de \( X \) con estos subconjuntos? Algo como lo que se hizo para la partición de \( X \) con \( A,B \)?
Digamos: \( X=\left( \bigcap_{k\in{I}}{A_k}\right)\cup \cdots\cup \left( \bigcap_{k\in{I}}A_k^c \right) \)?

Para el ejercicio 1.7: Definir \( F=\{x|x\in A\textsf{\ y\ }(x\in B \Rightarrow{}x\in C)\} \) en términos de \( A,B,C \) usando \( \cup{},\cap{},- \). Lo que hecho es usar equivalencias lógicas de esta forma:
Sean: \( p:=x\in{A}\quad q:=x\in{B} \quad r:=x\in{C} \), luego \( p\wedge (q\Rightarrow{r})\Longleftrightarrow{}p\wedge (\sim{q}\vee r)\Longleftrightarrow{}(p\wedge\sim{q}) \vee (p\wedge r) \) y después me devolví al lenguaje conjuntista con las definiciones de unión, intersección, diferencia, y concluí que \( F=(A-B)\cup{}(A\cap{}C) \). ¿Es este procedimiento válido y la respuesta correcta?

Para el ejercicio 1.10, llegué a la conclusión que los únicos conjuntos que no se pueden expresar como el producto cartesiano de dos subconjuntos \( A,B \) de los reales son los siguientes:
c)\( \{(x,y)|y>x\} \quad \) e)\( \{(x,y)|x^2+y^2=1\} \)
Pero, ¿cómo lo justifico?. Yo veo que en cada pareja \( (x,y) \), los elementos \( x,y \) están relacionados entre sí, luego también deben estarlo \( A,B \), pero se me hace que no es posible definir los conjuntos de tal forma. ¿Tocaría fijar uno de los conjuntos y luego definir el otro? ¿Cómo?

Últimos comentarios/preguntas:
- Hay un error de tipeo en el ejercicio 1.2.j., debe ser: \( A\subset C\textsf{\ y\ }B\subset D\Longrightarrow{(A\times B)\subset(C \red{\times}\black D)} \)
- ¿Debería escribir aquí todos los ejercicios que hago?, o ¿sólo en los que tenga dudas?
- ¿Debo usar spoiler para no arruinar los ejercicios de otros?
- ¿Qué piensas del libro "Axiomatic set theory" de Suppes?

Gracias por todo. Saludos.
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26 Julio, 2011, 07:40 am
Respuesta #2

argentinator

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Hola,

Bueno, pues ya me han surgido unas dudas:

Citar
Pregunta-ejercicio Anexo.1.4.1: ¿Cómo se puede particionar [X] respecto una familia finita de subconjuntos \( A_1,A_2,\cdots,A_n \) ?
¿En este se pretende que reflexionemos y encontremos  una expresión para una partición  de \( X \) con estos subconjuntos? Algo como lo que se hizo para la partición de \( X \) con \( A,B \)?
Digamos: \( X=\left( \bigcap_{k\in{I}}{A_k}\right)\cup \cdots\cup \left( \bigcap_{k\in{I}}A_k^c \right) \)?


Sí, eso mismo.

Uno puede jugar con varias cosas.
Por ejemplo, qué pasa cuando se tienen 3 conjuntos, 4 conjuntos,
y después saltar a n conjuntos.

Está bien lo que has hecho de poner subíndices a los conjuntos para poder manejarlos mejor.

Y todo parece estar muy bien,
pero no queda claro cuál es exactamente la partición.

O sea, "se nota" que lo entendiste, pero uno debiera hacer un esfuerzo por lograr una notación precisa, incluso en ejercicios tan sencillos como estos.

Mi opinión es que este esfuerzo es de mucha ayuda en lograr "soltura" en el manejo de conjuntos.
O sea, reflexionar sobre la notación, y buscar la manera más exacta de decir las cosas.

La notación que usaste con puntos suspensivos es algo engañosa, porque sólo muestra los casos "extremos".
Estaría bueno intentar dar una expresión a todos los términos "intermedios" de la unión.

Se me ocurre una posibilidad, aunque puede haber otras.
Dado que para cada conjunto \( A_j \) hay dos posibilidades: \( A_j \) y su complemento \( A_j^c \),
quizá convenga ingeniárselas un poco definiendo las cosas de otro modo.

Hacemos por ejemplo \( A_j^0=A_j \) y \( A_j^1=A_j^c \).

Lo que hice fue cambiar el "operador" de complemento por un "índice".
El índice me va a permitir trabajar más ágilmente.

Ahora, las particiones de X pueden escribirse como intersecciones de la siguiente forma:

\( A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap ...\cap A_n^{i_n} \)

donde \( i_1,...,i_n \) son índices 0 ó 1.

Así que ahora hacemos:

\( X=\bigcup \{\bigcap_{k=1}^n A_k^{i_k}:\quad i_1,...,i_n\in\{0,1\}\} \).

¿Te gustó?



Otra cosa que a lo mejor no está del todo "clara" quizá sea el concepto mismo de partición.

¿Qué es particionar X? ¿Escribirlo como una unión de conjuntos disjuntos? ¿O especificar una familia de conjuntos disjuntos cuya unión es X?

Una partición de \( X \) es una familia de subconjuntos  de \( X \) con "algunas propiedades".

Una tal familia se indicaría así: \( \mathcal F=\{F_\gamma\}_{\gamma\in J} \).

O sea, la partición es sólo "enumerar" los elementos de la familia de conjuntos.

Las propiedades de la familia \( \mathcal F \) son dos:

* Sus elementos son conjuntos disjuntos, o sea: Dados \( U, V\in\mathcal F \), vale: \( U\cap V=\emptyset \).
* Su unión es X, o sea: \(  \bigcup_{U\in \mathcal F} U = X \).

------------

"Dar la partición" \( \mathcal F \) es una acción distinta de escribir X como unión de ciertos conjuntos.



Me parece que yo no fui claro al definir "particiones". Lo puse a la ligera, porque era un tema introductorio, como para entrar en calor.

A lo mejor ahora lo escriba un poquito mejor.

En el ejemplo, la partición de X la constituyen los conjuntos \( A\cap{B},A^c\cap{B},A\cap{}B^c,A^c\cap{B^c} \).



Fijate que sólo estoy jugando con los términos y la notación.

Ojalá te sirva algo de este mareo de letras.  :D

Pero justamente conviene practicar estas cosas con situaciones sencillas como ésta, donde uno puede lucirse, jeje.

26 Julio, 2011, 08:26 am
Respuesta #3

argentinator

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Para el ejercicio 1.7: Definir \( F=\{x|x\in A\textsf{\ y\ }(x\in B \Rightarrow{}x\in C)\} \) en términos de \( A,B,C \) usando \( \cup{},\cap{},- \). Lo que hecho es usar equivalencias lógicas de esta forma:
Sean: \( p:=x\in{A}\quad q:=x\in{B} \quad r:=x\in{C} \), luego \( p\wedge (q\Rightarrow{r})\Longleftrightarrow{}p\wedge (\sim{q}\vee r)\Longleftrightarrow{}(p\wedge\sim{q}) \vee (p\wedge r) \) y después me devolví al lenguaje conjuntista con las definiciones de unión, intersección, diferencia, y concluí que \( F=(A-B)\cup{}(A\cap{}C) \). ¿Es este procedimiento válido y la respuesta correcta?


El procedimiento es válido, y la respuesta es correcta.

Pero puedo observar dos cosas.

1ro) Estamos suponiendo, de algún modo, un uso algo "informal" de la lógica.

La lógica de la teoría de conjuntos es de 1er orden, y lo que has usado es lógica proposicional.
Sin embargo, como has trabajado con una sola variable x, como si fuera una constante, digamos que funciona.

En general, ese método de trabajo funcionará bien, y aunque por ahora no me interesa profundizar en cuestiones rigurosas de lógica, más adelante puede hacerse.

Así que dentro de esa "informalidad", el procedimiento que has empleado es correcto.

No obstante, para evitar andar caminando demasiado en "tierra informal",
yo diría que sería mejor evitar lo más posible realizar "operaciones" en el mundo de la lógica,
ya que, aunque te van a conducir a resultados correctos,
resulta que estarías trabajando "por fuera" (por decirlo de algún modo) de la teoría de conjuntos.

2do) Para ese fin, hay que recordar lo que significa la flechita de implicación.
Se tiene que:

\( p \Rightarrow{ q} \) si, y sólo si, \( \sim{p}\vee q \).

De esta manera, reducimos todo a las operaciones básicas de: disyuncion "ó", conjunción "y", y negación.

Te voy a plantear dos caminos que se me ocurren a mí, el primero no muy bueno,
pero cuya discusión lleva al segundo método.

Nos quedaría algo así:


\( F=\{x:x\in A  \textsf{\ y\ }(x\in B\Rightarrow{x\in C})\} \), luego
\( F=\{x:x\in A  \textsf{\ y\ }(x\not\in B \textsf{\ ó\ }{x\in C})\} \),

luego aplico directamente definición de intersección, para evitar "logicolandia", y hago:
\( F=A\cap \{x: x\in B \textsf{\ ó\ }{x\in C} \} \),

luego aplico definición de unión:
\( F=A\cap (\{x: x\not\in B \}\cup C) \).

Acá el único problema es que no existe el conjunto \( \{x: x\not\in B \} \).
En la teoría ZFC eso no tiene sentido, porque el complemento de un conjunto es una clase propia,
que no es un conjunto.

Una solución posible es pensar que estamos trabajando con conjuntos A, B, C, incluidos dentro de algún conjunto bastante grande X.
En ese caso, el complemento se definiría respecto a X, y no nos saldríamos de la teoría de conjuntos.
Podríamos así escribir:

\( F=A\cap (B^c\cup C) \).

Donde \( B^c=X\setminus B \).

Finalmente, seguiríamos operando hasta quitar el complemento y llegar a tu expresión.
Pero operaríamos sólo con "conjuntos", sin pasar por operaciones lógicas:

\( F=A\cap (B^c\cup C)=(A\cap B^c)\cup(A\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\cup C) \).

------------------------

Pero fijate que hice algo de "trampa" en lo anterior,
porque tuve que introducir un extraño conjunto X para definir complementos.

Aunque esto es práctica usual, para el ejercicio en cuestión queda medio "feo",
y conviene arrancar de modo más parecido a lo que vos hiciste: trabajando un poco todavía con lógica.

De este modo, uso la lógica mientras tenga una negación "molesta",
quiero decir, una "negación que no soy capaz de escribir como resta de conjuntos".
Veamos:

\( F=\{x:x\in A  \textsf{\ y\ }(x\not\in B \textsf{\ ó\ }{x\in C})\} \),

hacemos un paso "lógico" más (no conjuntístico):

\( F=\{x:(x\in A  \textsf{\ y\ }x\not\in B )\textsf{\ ó\ }(x\in A  \textsf{\ y\ }{x\in C})\} \),

y ahora pasamos directamente a usar conjuntos:

\( F=\{x:(x\in A  \textsf{\ y\ }x\not\in B )\}\cup \{ (x\in A  \textsf{\ y\ }{x\in C})\} \),
\( {}\quad =(A\setminus B)\cup (A\cap C) \).

En este último procedimiento hemos evitado introducir un conjunto X "grande",
y no hemos tenido que lidiar con "clases propias" ni nada "espinoso".

Pero los temas "espinosos" siempre están.



A mí me parece que lo interesante de todo esto son las discusiones que surgen,
porque nos hacen reflexionar y eso es lo que seguridad en los procedimientos.

El problema de que no hay un "conjunto de todos los conjuntos",
junto al hecho de que hay que usar "complementos" todo el tiempo,
y que los complementos absolutos se tomaría respecto al "conjunto de todos los conjuntos",
nos obliga a andar con cuidado a cada paso.

Es lo mismo que la precaución de no dividir por 0 en las expresiones algebraicas:

* No se pueden tomar complementos, a menos que sean relativos a un conjunto X claramente especificado.

 

26 Julio, 2011, 08:41 am
Respuesta #4

argentinator

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Para el ejercicio 1.10, llegué a la conclusión que los únicos conjuntos que no se pueden expresar como el producto cartesiano de dos subconjuntos \( A,B \) de los reales son los siguientes:
c)\( \{(x,y)|y>x\} \quad \) e)\( \{(x,y)|x^2+y^2=1\} \)
Pero, ¿cómo lo justifico?. Yo veo que en cada pareja \( (x,y) \), los elementos \( x,y \) están relacionados entre sí, luego también deben estarlo \( A,B \), pero se me hace que no es posible definir los conjuntos de tal forma. ¿Tocaría fijar uno de los conjuntos y luego definir el otro? ¿Cómo?


Veamos el caso de \( C = \{(x,y)|y>x\}  \).

Supongamos que puede escribirse como el producto cartesiano de dos conjuntos A y B.
En tal caso, \( C = A\times B. \)

Una primer pregunta que uno puede hacerse (casi siempre debiera observarse este caso) es si alguno de los factores puede ser el conjunto vacío.

Eso no puede ser, porque entonces C me daría vacío, lo cual no es cierto, ya que se trata de un semiplano contenido en el plano euclidiano.

Nos preguntamos qué elementos han de tener los conjuntos A y B.
Se ve que todos los elementos de C son pares ordenados, cuyas componentes x, y, son siempre números reales.

Así que claramente, \( A\subset \mathbb{R}, B\subset{\mathbb{R}} \).

Si hubiera algún "objeto" extraño w en A, que no fuese un número real,
tomando un elemento b de B (que se puede, porque para eso nos fijamos que no era vacío),
tendríamos que el par (w, b) estaría en C, lo cual no puede ser, porque (w, b) no es un elemento del plano.

El párrafo anterior es sólo una reflexión, mas no creo que sea necesario escribirlo como parte de una verdadera demostración.
Sigamos pues con la demostración principal.

Observemos que, dado un número real x, el elemento (x, x+1) está en C, pues x+1>x.
Esto obliga necesariamente a que el elemento x esté en A.

¿Por qué? Es hora de que escribamos mejor esto.
Como C = A x B, tenemos en realidad que:

\( C=\{(a, b):a\in A, b\in B\} \).

O sea que C es un conjunto de pares ordenados, tales que la primer componente es elemento de A y la segunda componente es elemento de B.
Si un par (a, b) está en C, quiere decir que la primer componente pertenece al conjunto A,
porque si no, ¿de dónde salió ese par? ¿Cómo puede pertenecer a C?


Se sigue pues que todo número real x es elemento de A.
Así que \( A=\mathbb{R} \).

De modo similar, se puede ver que (y, y-1) está en C, para todo real "y", y así \( B=\mathbb{R} \) .

Así que \( C=A\times B=\mathbb{R\times{R}} \) que es todo el plano, en contra de la hipótesis inicial del conjunto C.

--------------

El párrafo en azul está "conversado".
Seguramente se puede formalizar mejor, o decir de otra manera si hace falta.

---------------

Ocurre que este ejercicio tiene así dos cuestiones a tener en cuenta: la idea por la cual el ejercicio sale, y la manera correcta de justificarlo.


26 Julio, 2011, 09:01 am
Respuesta #5

argentinator

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- Hay un error de tipeo en el ejercicio 1.2.j., debe ser: \( A\subset C\textsf{\ y\ }B\subset D\Longrightarrow{(A\times B)\subset(C \red{\times}\black D)} \)
- ¿Debería escribir aquí todos los ejercicios que hago?, o ¿sólo en los que tenga dudas?
- ¿Debo usar spoiler para no arruinar los ejercicios de otros?
- ¿Qué piensas del libro "Axiomatic set theory" de Suppes?


- 1.2.j: En cuanto pueda lo corrijo.

- Sobre qué ejercicios escribir y cuánto detalle, es algo que lo dejo a tu entera libertad.
Yo recomendaría que escribas incluso algunos de aquellos que no te generan dudas, para ver si aparece algún error no percibido, o bien surge una discusión asociada a ese ejercicio.

Pero no harían falta transcribirlos a todos.

- Lo del spoiler también lo dejo a tu criterio. Para mí es igual.

- Axiomatic Set Theory de Suppes: No lo conocía. Lo estuve mirando y me pareció un libro que tiene los temas básicos de teoría de conjuntos, tal como los de nuestro curso, no obstante arranca directamente con el rigor de la lógica de 1er orden y el formalismo lógico preciso.

Así que es un libro estándar, riguroso, y me dio buena impresión.

Una de las cosas que se observan a ojo es que intenta hacer más o menos lo mismo que intento hacer siempre yo: desembarzarse lo antes posible de los símbolos lógicos y pasar directamente a las operaciones con conjuntos.

Es una "intención de fondo".

Yo no tenía intención en este curso de profundizar en temas de lógica...
Parece un poco absurdo, ya que lógica y teoría de conjuntos van de la mano,
y mucha razón tiene Suppes en colocar ambos temas juntos desde el principio.

Sin embargo, el enfoque elegido tiene que ver sencillamente conque he tomado el libro de Munkres como referencia, y ahí la lógica se da muy someramente, sin rigor, apenas al principio.

El enfoque de Munkres muestra que puede darse teoría de conjuntos sin "perder tiempo" con lógica.
O sea, me gusta la lógica, pero consume más tiempo arrancar por ahí.

Si te hace falta esto, podemos hacerlo, no hay problema.
Tengo a mano el libro de Suppes, y también he pueso como enlace los axiomas estándar de conjuntos de ZFC y otros (extraídos del Ivorra).

--------------------

El hecho de evitar lo más posible la parte de "lógica" y quedarse más con los conjuntos
tiene también una intención de fondo, que es la de usar a los conjuntos como lenguaje para la matemática general.

O sea, el curso lo he pensado como "conjuntos para ser aplicados a la matemática".
Y no tanto el tema de "conjuntos hacia atrás, hacia la parte de fundamentos".

Pero todo puede hacerse.

Saludos

26 Julio, 2011, 09:17 am
Respuesta #6

argentinator

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Creo que uno de los objetivos principales del curso es aprender a manejar los conjuntos de forma algebraica, y sin miedo a meter mano a los índices, familias, conjuntos de conjuntos, funciones, relaciones, proyecciones, cardinales, ordinales, inducción transfinita,
y hasta hacer cálculos de rutina con esas cosas como si fueran números o matrices.

 :)

26 Julio, 2011, 05:07 pm
Respuesta #7

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O sea que C es un conjunto de pares ordenados, tales que la primer componente es elemento de A y la segunda componente es elemento de B.
Si un par (a, b) está en C, quiere decir que la primer componente pertenece al conjunto A,
porque si no, ¿de dónde salió ese par? ¿Cómo puede pertenecer a C?


--------------

El párrafo en azul está "conversado".
Seguramente se puede formalizar mejor, o decir de otra manera si hace falta.


Voy a escribir esto de un modo más ordenado.
No lo quise hacer antes porque "desvía la atención" del ejercicio mismo.

Sea C como antes. ¿Puede escribirse como producto cartesiano de dos conjuntos A y B?

Supongamos, por reducción al absurdo, que C = A x B, para ciertos conjuntos A, B.
Como ya mencionamos, A y B no pueden ser vacíos.

Sea \( a\in A \). Para cualquier elemento \( y\in B \) tenemos que \( (a, y)\in C \).
Por lo tanto, podemos concluir que \( \exists{y\in B:}(a, y)\in A\times B \).

Ahora, sea \( a \) dado, de manera que \( \exists{y\in B:}(a, y)\in A\times B \).
Por definición de producto cartesiano, \( A\times B=\{(\alpha, \beta);\alpha \in A,\beta\in B\} \).

Se desprende que \( a\in A, y\in B. \)
Pero a nosotros sólo nos interesa la conclusión de que \( a\in A. \)

De esta manera hemos probado que:
\( A = \{a| \exists{y\in B}:(a,y)\in A\times B\}. \)

De un modo similar se puede demostrar que:
\( B = \{b| \exists{x\in A}:(x,b)\in A\times B\}. \)

Lo que hemos hecho es "calcular las proyecciones" de C, que estamos suponiendo igual a A x B.

O sea, dado un conjunto cualquiera de pares ordenados, se lo puede proyectar en cada "coordenada" usando la propiedad de que "existe algún elemento de la otra coordenada tal que el par pertenece al conjunto"  ::) .

De esta manera observando que (x, x+1) está en C = A x B, para todo x,
todo número real está en A, y se puede ver además que en A sólo hay números reales.
Así que \( A = \mathbb{R} \).

Análogamente, como (y, y-1) está también en C, para todo y real, resulta que \( B=\mathbb{R} \).

Conclusión \( C = \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \).
Pero esto no puede ser, porque por ejemplo el par (1, 1) está en \( \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \)
pero no está en \( C=\{(x,y):x,y\in\mathbb{R},y>x\} \).

Ufff.

Cuesta trabajo escribir los detalles de la demostración.
Lo importante es tener la idea, como hicimos en posts anteriores,
y luego ir rellenando con los detalles, al grado de precisión que nos parezca conveniente.

En realidad, la escritura precisa de la demostración es un ejercicio de habilidad.
Está bueno intentarlo.

Te queda el ejercicio del círculo... que se resuelve también con esto de las "proyecciones".

Al proyectar el círculo en las coordenadas x, y, el producto cartesiano te dará un cuadrado...
así que el círculo no se recupera íntegro.



27 Julio, 2011, 06:11 am
Respuesta #8

Máthêma

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Hola,

Excelente construcción de la partición \( \bigcup \{\bigcap_{k=1}^n A_k^{i_k}:\quad i_1,...,i_n\in\{0,1\}\} \). Cuando puse los puntos suspensivos, no era por expresar de manera engañosa la partición, sino que aún no sabía cómo escribirla, era solo un comienzo.

En cuanto a la definición de partición, siempre he usado una definición análoga a la que has expuesto: Una partición de X es una familia \( \mathcal F \) de subconjuntos de X tal que para todo \( x\in{X} \) existe uno, y sólo un, \( B\in{\mathcal F} \) tal que \( x\in{B} \).

Ahora que lo pienso, se pudo haber también definido la partición de X como la famila: \( \mathcal F =\{ \bigcup_{k=1}^n A_k \; , \; \bigcap_{k=1}^n A_k^c \} \), no? Es decir, no había restricción alguna para la familia. No quiere decir que sea perezoso y defina la familia "menos fina", sólo que sería bueno que los siguientes participantes llegaran a alguna familia parecida a la tuya y no salgan con algo como lo que he escrito.



Para el ejercicio 1.7, tenía claro el no uso de el complemento de un conjunto al no estar trabajando con un conjunto de referencia. Trataré al máximo de evitar el uso la lógica, esa fue la forma en la que tuve mi primer acercamiento a la teoría de conjuntos, es decir, cualquier teorema relativo a conjuntos que iba a ser probado, era "traducido" a lenguaje lógico y probado "allá".



Aquí va mi intento para demostrar que el conjunto \( E=\{(x,y)|x^2+y^2=1\} \) no puede ser escrito como el producto cartesiano de dos subconjuntos de números reales.

Supongamos, por el contrario, que existen \( A,B\subseteq{}\mathbb{R} \), tales que \( A\times B=E \). Ni A ni B son vacíos, o de lo contrario \( E \) sería vacío y claramente no lo es, \( (1,0)\in{E} \). E es el conjunto de puntos cuya distancia a el origen es 1.

De la misma forma que los obtuviste, se tiene que \( A = \{a| \exists{y\in B}:(a,y)\in A\times B\} \mbox{ y } B = \{b| \exists{x\in A}:(x,b)\in A\times B\} \).

Se puede observar que para todo x (\( -1\leq x \leq 1 \)) se tiene que \( (x,\sqrt{1-x^2})\in{E} \), luego \( A'=\{ x|x\in{[0,1]}\}\subseteq{A} \) y de la misma forma \( B'=\{ y|y\in{[0,1]}\}\subseteq{B} \), por lo tanto \( A'\times B' \subseteq A\times B =E \).

Por lo cual se sigue que \( (0.5,0.5)\in{A' \times B'}\subseteq{} A\times B =E \), que es falso. Luego no es cierto de E pueda ser escrito como el producto cartesiano de dos conjuntos \( A,B\subseteq{\mathbb{R}} \).



En cuanto a el libro de Suppes, sólo lo nombré para saber si lo podía tomar como referencia, como consulta. Como te comenté, mi introducción a la teoría de conjuntos fue hecha con lógica de predicados y pues me gustaría empezar a trabajar con sólo conjuntos, con otro enfoque. Aunque no niego que quiero en algún momento empezar a estudiar lógica de una forma mucho más formal, para eso habrá tiempo.

No me siento inseguro en cosas de lógica de predicados básica, creo que estaré bien con eso por lo menos hasta que tenga tiempo de empezar a estudiarlo "rigurosamente".

Te comento que estoy un poco ocupado estos días, así que subiré más ejercicios a más tardar el viernes. Gracias por tu tiempo y tus explicaciones. Saludos.
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27 Julio, 2011, 06:27 am
Respuesta #9

argentinator

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Para el ejercicio 1.7, tenía claro el no uso de el complemento de un conjunto al no estar trabajando con un conjunto de referencia. Trataré al máximo de evitar el uso la lógica, esa fue la forma en la que tuve mi primer acercamiento a la teoría de conjuntos, es decir, cualquier teorema relativo a conjuntos que iba a ser probado, era "traducido" a lenguaje lógico y probado "allá".


Bueno, tener bases de lógica te va a ser muy útil.

De hecho, hay situaciones en las que sí o sí hay que operar con los conectores lógicos.

En realidad, pensándolo mejor, lo que no me gustó de lo que escribiste es que hayas usado letras p, q, etc. para "etiquetar" proposiciones lógicas.

Esas letras son "metalógicas", o sea, ni siquiera en lógica es correcto escribir así.

Sin embargo, se entiende lo que has escrito y el método que has usado.
Pero si lo que importa es escribir las cosas correctamente, entonces hay que evitar el uso de "metavariables".

Yo mismo las he usado más de una vez para explicar algo, pero uno tiene que saber que no es formalmente correcto.

--------------

Por otro lado, tampoco es "pecado" usar lógica, porque inclusive será inevitable.

Pero las operaciones más complicadas con conjuntos conviene hacerlas usando operaciones algebraicas de conjuntos.
En el fondo es casi lo mismo, pero cambia el lenguaje.
Más aún, las más complicadas fórmulas con conjuntos se tienen que demostrar usando lógica, así que...

Y los conjuntos ofrecen una manera más "gráfica" de visualizar las relaciones matemáticas.

Sin embargo, basta recordar las cuestiones básicas sobre lógica,
o sea, cómo se comportan las operaciones lógicas que son análogas a las operaciones con conjuntos,
y no estar demasiado preocupado por todo el rigor subyacente.

No es práctico tener presente todo el tiempo el aspecto arduamente constructivo de la lógica de primer orden.
Nos alcanza con "confiar" en las operaciones lógicas usuales: "ó", "y", "no", "implica".


--------------

Se nota que hay muchas cosas en las que estás sólido, pero yo no "veo" bien tu cabeza para ver en qué andás mejor o no.

El enfoque del Munkres es sólido y "práctico" en el sentido arriba expuesto.

Más áun, un libro de Topología tan arduo como el Kelley también introduce los aspectos de la lógica de un modo "informal". (Aunque al final del libro hay un apéndice con una construcción rigurosa de lógica y conjuntos).

31 Julio, 2011, 07:31 am
Respuesta #10

Máthêma

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Hola,
Siento la tardanza para subir los ejercicios. He visto los de la sección 2, la mayoría los he hecho antes varias veces, así que escribiré los de uniones, intersecciones arbitrarias de conjuntos, no sé si sea un razonamiento muy corto.

Sea \( f:A\rightarrow{B},\{ B_k \}_{k\in I} \) una familia de subconjuntos de B y \( \{ A_i \}_{i\in M } \) una familia de subconjuntos de A. Demuestre que:

2.2.b) \( f^{-1}(\bigcup_{k\in I}B_k)=\bigcup_{k\in I}f^{-1} (B_k) \)

Dem. Sea \( a\in f^{-1}(\bigcup_{k\in I}B_k) \), por definición \( f(a) \in \bigcup_{k\in I}B_k \), luego existe un \( k_0 \in I \) tal que \( f(a)\in B_{k_0} \), lo que quiere decir que \( a\in f^{-1}(B_{k_0}) \) y como basta con que el elemento a esté en un conjunto para que pertenezca a toda la unión: \( a \in \bigcup_{k\in I}(f^{-1}(B_k)) \). De lo que se sigue que \( f^{-1}(\bigcup_{k\in I}B_k)\subset\bigcup_{k\in I}f^{-1}( B_k ). \) La otra contenencia es bastante parecida.

2.2.c) \( f^{-1}(\bigcap_{k\in I}B_k)=\bigcap_{k\in I}f^{-1}(B_k) \)

Dem. Sea \( a \in f^{-1}(\bigcap_{k\in I}B_k) \), por definición \( f(a) \in \bigcap_{k\in I}B_k \), es decir que para todo \( k\in I \quad f(a)\in B_k \), luego se cumple que \( a \in f^{-1}(B_k) \quad \forall{k\in I} \) lo que implica que \( a\in f^{-1}(\bigcap_{k\in I}B_k) \), con lo que queda demostrado que \( f^{-1}(\bigcap_{k\in I}B_k)\subset\bigcap_{k\in I}f^{-1}(B_k) \). La otra contenencia es bastante parecida.

2.2.g) \( f(\bigcap_{i\in M}A_i)\subset\bigcap_{i \in M}f(A_i) \)

Dem. Sea \( b\in f(\bigcap_{i\in M}A_i) \), luego por definición \( b=f(a) \) para algún \( a\in \bigcap_{i\in M}A_i \), pero eso significa que \( a\in A_i \quad (\forall{i\in M}) \), por definición \( b\in f(A_i) \quad (\forall{i\in M}) \), lo que quiere decir que \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \). Y así queda demostrado.

Veamos que se tiene la igualdad si f es inyectiva. Sea \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \), luego \( b\in f(A_i) \quad (\forall{i\in M}) \) y por definición de este conjunto \( b=f(a) \) para algún (al ser f inyectiva en este caso es único*) \( a\in A_i \;(\forall{i\in M})\implies a\in \bigcap_{i\in M}A_i \) y de lo que se concluye que \( b\in f(\bigcap_{i\in M}A_i) \).

*La inyectividad de f asegura la existencia de la única preimagen de b en \( \bigcap_{i\in M}A_i \).

Estaba escribiendo el mensaje y cuando quise obtener la previsualización, apareció un error y me borró todo, me sentí tan enojado que por poco me voy a dormir sin transcribirlos de nuevo pero ahí están. Tendré ahora que copiar el texto en un archivo cada vez que le de previsualizar o lo vaya a publicar. Gracias por revisarlo. Saludos.
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31 Julio, 2011, 08:53 am
Respuesta #11

argentinator

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En cuanto a los problemas con los mensajes que se borran...

A mí me pasa bastante seguido, según desde qué computadora esté navegando, u otras razones.

Así que está bien eso de usar un editor de texto.

Otra solución que yo uso mucho es esta: antes de apretar el botón "Publicar", selecciono todo el texto y lo copio en el "potapapeles" de Windows.
Así no tengo que estar haciendo un archivo de texto cada vez.
Y si hay algún problema con el mensaje, entonces lo reedito simplemente "pegando" el mensaje guardado en memoria.

Yo creería que estos problemas son más comunes a medida que uno escribe mensajes cada vez más largos.


Veamos que se tiene la igualdad si f es inyectiva.
Sea \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \), luego \( b\in f(A_i) \quad (\forall{i\in M}) \) y por definición de este conjunto \( b=f(a) \) para algún (al ser f inyectiva en este caso es único*) \( a\in A_i \;(\forall{i\in M})\implies a\in \bigcap_{i\in M}A_i \) y de lo que se concluye que \( b\in f(\bigcap_{i\in M}A_i) \).

*La inyectividad de f asegura la existencia de la única preimagen de b en \( \bigcap_{i\in M}A_i \).


En general tus razonamientos están perfectos, y tu forma de escribir me parece muy bien.

Al menos, yo escribiría casi igual que lo que vos hiciste. (Eso no es garantía de nada, o sea, yo no soy "san" teoría de conjuntos).
Me hace pensar si de verdad te hace falta este curso.

Pero ví que te enredaste un poco al justificar esta última parte.
A ver si te gusta cómo solucionaría yo a la escritura de la parte "inyectiva":


Sea \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \),
luego, para cada \( i\in M \) existiría algún \( w\in A_i \) tal que: \( b= f(w) \quad  \) .

Sea \( E = \{w |\exists i\in I:(w\in A_i, b=f(w))\} \)

Dados \( w,w'\in E \), se tiene que \( b=f(w)=f(w') \),
y vale por inyectividad de \( f \) que \( w=w' \).

Esto implica que en \( E \) hay un solo elemento, que llamamos \( a \).

Luego hay un único valor \( a\in \cap_i A_i  \) tal que \( f(a) =b \).

[Para comprobar esto, se podría volver sobre los pasos, y comprobar que efectivamente,
el conjunto \( K \) de índices \( i\in M  \) tal que \( a\in A_i \) es igual a todo \( M \), o sea:

Sea \( i\in M \). Sabemos que existe \( w\in A_i \) tal que \( f(w) = b \), por lo cual \( w \in E \).
Pero entonces \( w = a \). Esto da \( a\in E \).

Se concluye que \( i\in K \).

Esto implicará que \( M = K. \)
]

Por lo tanto \( b=f(a)\in f(\cap_{i\in M} A_i)  \).




Una vez que el razonamiento se ha hecho bastante preciso, como acá,
resulta en un texto demasiado "pedante", porque muchos matemáticos considerarán "molesto" tener que leer todos esos detalles.

Pero sin embargo, hay que estar convencido de esos "cálculos", que por eso los escribo.

Una vez que uno se convenció de los cálculos, puede borrarlos, y reescribirlos de una forma más breve.
Es recién en ese instante que uno puede escribir algo breve como vos hiciste:

Citar
*La inyectividad de f asegura la existencia de la única preimagen de b en \( \bigcap_{i\in M}A_i \).

31 Julio, 2011, 09:49 pm
Respuesta #12

Máthêma

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En general tus razonamientos están perfectos, y tu forma de escribir me parece muy bien.

Al menos, yo escribiría casi igual que lo que vos hiciste. (Eso no es garantía de nada, o sea, yo no soy "san" teoría de conjuntos).
Me hace pensar si de verdad te hace falta este curso.

No te dejes llevar por la sensación que te he dejado hasta ahora. Lo que pasa es que con los temas tratados hasta ahora, he tenido en algún momento contacto, y por eso se me facilita un poco pero, hay temas del curso (como conjuntos numerables, cardinalidad, axioma de elección, principio del máximo) para los cuales sólo tengo nociones y conozco algunas definiciones a pesar de no haberme embarcado a hacer ejercicios.

Pero ví que te enredaste un poco al justificar esta última parte.
A ver si te gusta cómo solucionaría yo a la escritura de la parte "inyectiva":


Sea \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \),
luego, para cada \( i\in M \) existiría algún \( w\in A_i \) tal que: \( b= f(w) \quad  \) .

Sea \( E = \{w |\exists i\in I:(w\in A_i, b=f(w))\} \)

Dados \( w,w'\in E \), se tiene que \( b=f(w)=f(w') \),
y vale por inyectividad de \( f \) que \( w=w' \).

Esto implica que en \( E \) hay un solo elemento, que llamamos \( a \).

Luego hay un único valor \( a\in \cap_i A_i  \) tal que \( f(a) =b \).

¿Qué si me gusta? Ya deseo yo expresarme así. Uno de mis objetivos al inscribirme en este curso fue precisamente mejorar la forma en que expreso mis razonamientos. Así que si no es mucha molestia, me gustaría que en futuros ejercicios me pidas que aclare algún paso o lo reescriba de otra manera si es necesario, antes que lo hagas tú,  como lo era en este de la inyectividad. Creo que así, aprenderé mucho más.

Gracias, saludos.
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14 Agosto, 2011, 12:24 am
Respuesta #13

javier m

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hola argentinator.

tengo una situación: no he podido avanzar mucho con el curso, de hecho apenas estoy cerca de llegar a los ejercicos de demostrar el algebra de conjuntos.
no he podido avanzar mucho porque tengo que estudiar otras cosas referente a mi carrera, pero resulta que dentro de poco entro a vacaciones y quisiera aprovechar para adelantarme un poco, el problema es que cuando entre a vacaciones no voy a tener internet.

asi que la pregunta es: ¿tienes el curso en un archivo adjunto para poder descargarlo?

14 Agosto, 2011, 03:15 am
Respuesta #14

argentinator

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No tengo ningún archivo adjunto, porque lo que voy escribiendo en el foro me sale por "inspiración del momento", jeje.

Lo que sí podés asegurar posiblemente es imprimir los posts.

Fijate que los spoilers a lo mejor no se imprimen, y habría que "abrirlos" a todos antes de imprimir.

O bien, podés "imprimirlo" a un archivo.
O simplemente ponés "guardar como" y te graba la página web en tu disco rígido.

Finalmente, podrías buscarte el libro de Munkres por ahí, porque la teoría y ejercicios se basan en el capítulo 1 de dicho libro.

Saludos

14 Agosto, 2011, 03:33 am
Respuesta #15

argentinator

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23 Agosto, 2011, 09:48 pm
Respuesta #16

javier m

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hola argentinator, tengo una duda muy tontilla.

en la parte de intercepción

Citar
Ejercicio Anexo.1.1.d. Demostrar que dos conjuntos \( A, B \) son disjuntos si, y sólo si,\( A\cap  B = \emptyset \) .
(Esto también podría tomarse como definición de disjuntez)

no veo como seria la demostración, es que tan obvio que no veo que demostración pueda tener.
¿no seria mejor decir que eso es la definición (como bien dice en el parentisis) y ya ?

23 Agosto, 2011, 11:57 pm
Respuesta #17

argentinator

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Por lo general en los libros viene eso como definición de disjuntez, así que no habría que demostrar nada.

Lo que pasa es que se me ocurrió definir disjuntez de otra manera, y hay que demostrar que ambas definiciones son equivalentes.

* Definición: A y B son disjuntos si todo elemento de A no está en B, y todo elemento de B no está en A.

Hay que probar que eso es equivalente a que A y B tienen intersección vacía.

Supongamos que tenemos A y B como en la definición de arriba.
Si hubiese un punto \( x\in A\cap B \), entonces en particular \( x\in A \).
Pero por definición, tenemos ahora que  \( x\not\in B \). Pero como \( x\in A\cap B \), necesariamente \( x\in B \), que nos da una contradicción.
Así que, no existe x tal que \( x\in A\cap B \). Esto nos dice que \( A\cap B \) es el conjunto vacío.

Recíprocamente, si \( A\cap B=\emptyset  \), y si \( x \) es un elemento de \( A \), entonces no puede ser que \( x\in B \), porque nos daría entonces que \( x\in A\cap B=\emptyset  \), absurdo.
De la misma manera, si x es elemento de B, no puede ser elemento de A.
Esto demuestra que se cumple la condición dada en *.

Así, ambas cosas son equivalentes...

Sí, es una pavada, y son tan parecidas ambas condiciones que se vuelve intrincado hallar una demostración de que son lo mismo, y no caer en el ridículo de la obviedad.

Pero si hay dos definiciones distintas, es que son distintas, y tiene que haber un modo de probar que son equivalentes.

Arriba en realidad usé una noción de conjunto vacío (que no existe x que le pertenezca), que habría que probar que es equivalente a cualquier otra definición usual de vacio.

25 Agosto, 2011, 04:02 pm
Respuesta #18

argentinator

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* 1er definición de vacío: \( X=\{x:x\neq x\} \)

* 2da definición de vacío: un conjunto V se dice "vacío" si \( \not\exists x:x\in V \).

Habría que probar que todo conjunto "vacío" es igual a X, y eso probaría además que hay solamente un conjunto vacío posible.

Sea V vacío "cualquiera", y sea \( x\in V \).
Analicemos la implicación \( x\in V\implies x\in X \).
Como el antecedente de la implicación \( x\in V \) es falso, la implicación es "verdadera".
Esto no quiere decir que efectivamente \( x\in X \).

Este tipo de razonamientos son correctos, y como x es genérico, se ha demostrado que \( V\subset X \).

Una forma un poco más "creíble" de hacer esto, sería partir de la negación del consecuente.
Supongamos que \( x\not \in X \). En tal caso \( x=x \).
Si fuese \( x\in V \), entonces existiría un \( x \) tal que \( x\in V \), y V no sería "vacio", por la 2da definición.

Así que \( x\not \in V \).

Por contrarrecíproco, se tiene la implicación \( x\in V\implies x\in X \).
O sea \( V\subset X \).

------------------------------------------

Por otro lado, se sabe que \( X\subset A \) para todo conjunto \( A \).
En particular, \( X\subset V \).

Ahora, de la doble inclusión, resulta que \( V=X \).

------------------------------

Estos ejercicios con el vacío son bastante "ilustrativos", por decirlo así.

25 Agosto, 2011, 06:01 pm
Respuesta #19

javier m

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