Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación del Curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

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25 Agosto, 2011, 08:10 pm
Respuesta #20

argentinator

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hola.

En este curso estoy evitando en lo posible las cuestiones de lógica.

Porque hay sutilezas en las que no quiero entrar acerca de "lo demostrable" y "lo verdadero".

Mi idea es seguir sólo aquello que es "demostrable", porque ahí no hay que pensar en "valores de verdad".

Así que no creo que haya que estudiar lógica.
La última demostración que te dí es por contrarreciproco, lo cual es algo típico como razonamiento matemático.

Hay que trabajar con cosas básicas de lógica, como estas:

(no P ó Q) si y sólo si (P implica Q)
(no Q implica no P) si y sólo si (P implica Q)

El "si y sólo si" es la "equivalencia" o igualdad lógica.
Hay que pensarlo así.
La implicación no es la "deducción", sino sólo parte de una deducción.
La deducción típica o "modus ponens" es esta:

  (p, y (p implica q)), implica  q.

Cuando eso se ha demostrado, se puede decir "Si p entonces q".

Suele haber un abuso de intercambio entre el "Si ... entonces..." y el "... implica...".
Pero no son lo mismo.

Otros métodos de deducción son estos:

Para todo x: P(x) , entondes P(a) (para un valor fijo x = a).
Eso es la "particularización", o sea, si vale "para todo", vale para un  caso particular.

Y una de las cosas que usé fue algo que es cierto, pero que no recuerdo haberlo visto como axioma lógico, así que voy a tener que buscar su justificación, y es este tipo de razonamiento:

Si \( P(x_0) \) entonces \( \exists x:P(x) \).

Nos vemos

25 Agosto, 2011, 08:27 pm
Respuesta #21

feriva

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* 1er definición de vacío: \( X=\{x:x\neq x\} \)

* 2da definición de vacío: un conjunto V se dice "vacío" si \( \not\exists x:x\in V \).


La segunda es más obvia, me gusta más la primera: Sea el conjunto X de los elementos que son todos distintos de sí mismos. Los elementos distintos de sí mismos no existen, luego X no contiene elementos   :)

Saludos.

25 Agosto, 2011, 08:52 pm
Respuesta #22

argentinator

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Y una de las cosas que usé fue algo que es cierto, pero que no recuerdo haberlo visto como axioma lógico, así que voy a tener que buscar su justificación, y es este tipo de razonamiento:

Si \( P(x_0) \) entonces \( \exists x:P(x) \).


Voy a procurar de justificar este tipo de razonamiento a partir de los que acepté anteriormente: contrarrecíproco y particularización:

Por contrarrecíproco, tendríamos que probar que:

\( no-\exists:P(x) \)

Esto es equivalente ("si y sólo si") a escribir \( \forall x: (no-P(x)) \)

Particularizando para  \( x=x_0 \), obtenemos:

Si \( \forall x:(no-P(x)) \) entonces \( no-P(x_0) \)

Ahora, por contrarrecíproco obtenemos el razonamiento que usé, y queda justificado:

Si \( P(x_0) \) entonces \( \exists x:P(x) \)

que fue lo que usé al decir: si \( x\in V \) entonces \( \exists x: x\in V \).


25 Agosto, 2011, 09:01 pm
Respuesta #23

argentinator

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* 1er definición de vacío: \( X=\{x:x\neq x\} \)

* 2da definición de vacío: un conjunto V se dice "vacío" si \( \not\exists x:x\in V \).


La segunda es más obvia, me gusta más la primera: Sea el conjunto X de los elementos que son todos distintos de sí mismos. Los elementos distintos de sí mismos no existen, luego X no contiene elementos   :)

Saludos.

En general se define conjunto vacío como aquel que cumple una propiedad P(x) que es falsa para todo x.

Con esto se logra usar uno de los axiomas de la teoría formal de conjuntos (que no estamos viendo en el curso), que indica que un conjunto puede definirse a través de una función proposicional P(x). O sea, se define por comprensión.

La definición que yo dí no es cómoda desde el punto de vista formal.
Fijate que es "conceptual".

Definí el "significado" de conjunto vacío, pero a partir de esa definición no puedo hablar de "el" conjunto vacío, porque no sé si hay muchos conjuntos que satisfacen el criterio que usé para definirlos, y tampoco se sabe si hay siquiera alguno.

Por más intuitiva que te parezca la definición, hace uso de elementos más complicados del lenguaje formal, y traen complicaciones logicas, como las que acabo de exponer.

Es más directo definir "el" conjunto vacío con alguna propiedad, porque ya se sabe que sólo hay "un único" conjunto por cada propiedad o función proposicional P(x) que se tome.

-----------------

Feriva: En general para participar en los cursos hay que estar inscripto, pero inscribirse conlleva el deseo de "trabajar" en las tareas propuestas en el curso.

No me molesta que participes de todos modos, pero si metés comentarios erróneos, directamente los voy a borrar porque se confunde a la gente que quiere aprender.

Así que: ¿qué te parece inscribirte en el curso y participar?

25 Agosto, 2011, 11:26 pm
Respuesta #24

feriva

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* 1er definición de vacío: \( X=\{x:x\neq x\} \)

* 2da definición de vacío: un conjunto V se dice "vacío" si \( \not\exists x:x\in V \).


La segunda es más obvia, me gusta más la primera: Sea el conjunto X de los elementos que son todos distintos de sí mismos. Los elementos distintos de sí mismos no existen, luego X no contiene elementos   :)

Saludos.

En general se define conjunto vacío como aquel que cumple una propiedad P(x) que es falsa para todo x.

Con esto se logra usar uno de los axiomas de la teoría formal de conjuntos (que no estamos viendo en el curso), que indica que un conjunto puede definirse a través de una función proposicional P(x). O sea, se define por comprensión.

La definición que yo dí no es cómoda desde el punto de vista formal.
Fijate que es "conceptual".

Definí el "significado" de conjunto vacío, pero a partir de esa definición no puedo hablar de "el" conjunto vacío, porque no sé si hay muchos conjuntos que satisfacen el criterio que usé para definirlos, y tampoco se sabe si hay siquiera alguno.

Por más intuitiva que te parezca la definición, hace uso de elementos más complicados del lenguaje formal, y traen complicaciones logicas, como las que acabo de exponer.

Es más directo definir "el" conjunto vacío con alguna propiedad, porque ya se sabe que sólo hay "un único" conjunto por cada propiedad o función proposicional P(x) que se tome.

-----------------

Feriva: En general para participar en los cursos hay que estar inscripto, pero inscribirse conlleva el deseo de "trabajar" en las tareas propuestas en el curso.

No me molesta que participes de todos modos, pero si metés comentarios erróneos, directamente los voy a borrar porque se confunde a la gente que quiere aprender.

Así que: ¿qué te parece inscribirte en el curso y participar?


 Hola, Argentinator. Bueno, sí que me gustaría estudiar matemáticas más a fondo en este tema y en otros, de hecho pensé en eso que me dices, pero no me atrevo a seguir un curso formal de momento (por una situación personal larga de explicar y que no viene al caso).

 En cuanto al comentario, bórralo tranquilamente si ves que puede confundir, por supuesto, no te preocupes, que no me ofendo  :)

Saludos. 

25 Agosto, 2011, 11:50 pm
Respuesta #25

argentinator

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Tu comentario no está mal.

Lo que pasa es que la idea es no comentar si no se está involucrado con el curso.

Si se diera el caso de que hacés un comentario erróneo, tendría que borrarlo.
Distinto sería si estás inscripto. Se supone que un "estudiante" tiene el derecho de equivocarse libremente, jeje.

Nos vemos.

25 Agosto, 2011, 11:58 pm
Respuesta #26

feriva

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Tu comentario no está mal.

Lo que pasa es que la idea es no comentar si no se está involucrado con el curso.

Si se diera el caso de que hacés un comentario erróneo, tendría que borrarlo.
Distinto sería si estás inscripto. Se supone que un "estudiante" tiene el derecho de equivocarse libremente, jeje.

Nos vemos.

Te lo agradezco de verdad, pero es que iba a ser un lastre, para empezar hay mucha nomenclatura que no conozco; y tendría que repasar un montón, empezar otra vez desde abajo, porque ya sabes que lo que sabía también lo tengo muy olvidado. Eso sí, que sepas que tienes un alumno de oyente, y que a lo mejor, quién sabe, algún día me animo; de momento te comentaré en las cosas que pongas en el foro general y eso (el comentario era sólo para decirte que me gustaba esa definición, no sabía que se podían definir así algunas cosas).

Un saludo más.

26 Agosto, 2011, 12:06 am
Respuesta #27

argentinator

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no sabía que se podían definir así algunas cosas

 

Uno puede definir lo que quiera.
Después hay que probar que está bien definido, que coincide con otras definiciones que uno "cree" que debieran ser equivalentes.

Todo hay que probarlo.

Este curso no requiere demasiada preparación previa, porque de lógica sólo usaremos los métodos más rudimentarios y básicos, que se pueden repasar siempre que haga falta,
y en cuanto a conjuntos, se usará una presentación "intuitiva", aunque siempre pensando en que en realidad tenemos los Axiomas de ZFC como fundamento teórico correcto.

No obstante, no nos interesa estudiar ZFC ni lógica de 1er orden.
Este curso está orientado a "hacer cuentitas" con conjuntos, así uno aprende a usarlos de la misma forma que uno usa la aritmética o el álgebra.

Por eso insisto con estos cambios de definiciones y demostraciones de equivalencias.
Porque esas cositas son lo que a uno le dan cierta "pericia" en el uso de conjuntos.

Hay que animarse a "calcular" en "modo de conjuntos".
Hay algo de lógica, claro está, pero no nos volvamos locos con eso.
La lógica que hay que usar es la de 1er orden... y lleva mucho tiempo definirla, explicarla, y comprobar sus reglas básicas de inferencia.

Eso es tema de algún otro posible curso. Saludos

21 Septiembre, 2011, 10:48 pm
Respuesta #28

makoto91

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una sola cosa argentinator, me podrias explicar que es una familia de conjuntos, pues la verdad
que hasta ese punto llegue y no lo entiendo bien, en el colegio ni donde estudio los domingos
me han enseñado lo que es una familia de conjuntos.
En matemáticas uno no entiende las cosas, se acostumbra a ellas.

21 Septiembre, 2011, 11:10 pm
Respuesta #29

argentinator

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En Teoría de conjuntos todos los objetos que aparecen son conjuntos, incluyendo a los elementos de esos conjuntos.

Una familia de conjuntos es un conjunto cuyos elementos son otros conjuntos.

Como dije que todo es un conjunto, formalmente es confuso, porque pareciera que todo conjunto (no vacío) puede considerarse una familia de conjuntos.

Y de hecho, es así, lamentablemente.

Así que las familias de conjuntos se usan más bien en un modo informal, para expresar la idea intuitiva de conjunto de conjuntos o colecciones de colecciones, etc.

Se supone en general que uno está trabajando con cierto conjunto \( X \), y de vez en cuando toma algunos subconjuntos de \( X \).
Le interesa luego trabajar con "muchos" de tales subconjuntos a la vez.

Toma, pues, un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de \( X \). A eso se lo suele llamar familia de conjuntos.

Finalmente, las familias de conjuntos se suelen "describir" con una notación especial, en forma de función subindicada...

Supongamos que tengo un conjunto de índices \( I \) y que a cada elemento \( \iota \in I \) se le hace corresponder un cierto conjunto \( A_\iota  \).

El resultado de esto es una función que a cada elemento \( \iota \in I \) asigna el objeto \( A_\iota  \).

Esta función tiene un "rango" o sea, un "conjunto de imágenes".
Ese conjunto está formado por todos los conjuntos \( A_\iota  \), y es a él que se le llama una "familia de conjuntos".

Dicha familia se denota usualmente así: \( \{A_\iota \}_{\iota \in I} \).
También se la puede denotar así: \( \{A_\iota :\iota \in I\} \).

También podemos decir que hay un "conjunto de conjuntos" \( \mathcal A \) tal que un elemento \( E\in\mathcal A \) si y sólo si \( E \) es un conjunto de la familia \( \{A_\iota :\iota \in I\} \).
O mejor dicho, si y sólo si existe \( \iota\in I \) tal que \( E=A_\iota  \).

A veces se puede entender o decir que la "familia" de conjuntos es justamente esta "función", y no el conjunto de llegada en sí.

Como sea, la función es sólo un modo de describir paramétricamente quiénes son los elementos del susodicho "conjunto de conjuntos".
Esto es deseable cuando uno usa alguna propiedad para definir la familia.

Como ves, en este asunto hay muchas cuestiones de terminología, notación e interpretación.

Pero lo único "real" son los "conjuntos" y los "conjuntos de conjuntos".
Después hay diversos modos de describirlos, anotarlos, o interpretarlos.
Uno no tiene que dejarse confundir.

Saludos

27 Octubre, 2011, 07:38 am
Respuesta #30

Fran Colegiales

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Hola argentinator: Te envío los primeros ejercicios que estuve haciendo para que me corrijas.

Ejercicios Anexos 1.1

Ejercicio Anexo.1.1.a:

\( A_1\cap A_2\cap \cdots A_n:= \{x:x\in A_1\textsf{\ y\ }x\in A_2\textsf{\ y\ }\cdots \textsf{\ y\ }x\in A_n\} \)

Ejercicio Anexo.1.1.b:

\( A_1\cap A_2\cap \cdots A_n:= \{x:\forall{k\in\{1,2,\cdots,n\}}(x\in A_k)\} \)

Ejercicio Anexo.1.1.c:

\( \bigcap_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\forall{\iota \in I}(x\in A_\iota )\} \)

Ejercicio Anexo.1.1.d

Definiciones:

Conjuntos Disjuntos
\( A \) y \( B \) son disjuntos si y sólo si todo elemento \( x \in A \) no está en \( B \), y también todo \( x \in B \)   no está en \( A \).

Traducción: A y B son disjuntos \(  \Leftrightarrow \forall{x} ((x\in{A}\Rightarrow{x\not\in{B}) \wedge (x\in{B}\Rightarrow{x\not\in{A})) \)

Conjunto Vacío

\( \emptyset := C \Leftrightarrow  \forall{x}(x \notin C)  \)


Demostración:
A y B son disjuntos
\(  \Leftrightarrow \forall{x} ((x\in{A}\Rightarrow{x\not\in{B}) \wedge (x\in{B}\Rightarrow{x\not\in{A})  \)
\( \Leftrightarrow \forall{x} (x\in{A}\Rightarrow{x\not\in{B})  \)
\( \Leftrightarrow \forall{x}\ \sim(x\in A \wedge{x\in{B})  \)
\( \Leftrightarrow \forall{x}\ \sim(x\in A \cap B})  \)
\( \Leftrightarrow \forall{x}\ (x\notin A \cap B})  \)
\( \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset   \)

(PD: No puedo ver bien mi mensaje antes de enviarlo, la ventana de previsualización es muy chiquita, se puede agrandar?)

Muchas gracias. Saludos.

27 Octubre, 2011, 06:11 pm
Respuesta #31

argentinator

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1.a y 1.b están bien.

El 1.c no tiene correctas las equivalencias lógicas.

Son pocos los casos en que un "si y solo si" puede probarse directamente con conectores \( \Leftrightarrow{} \).
Lo más común es demostrar una doble implicación.

En este caso sin embargo puede hacerse.

No obstante, hay errores en los pasos intermedios.
No se puede poner la negación en la forma en que lo hiciste.

Voy a usar las leyes de De Morgan (que valen análogamente para relaciones lógicas tanto como para conjuntos) y la equivalencia \( (p\Rightarrow{q})\Longleftrightarrow{(\sim p\vee q)} \).


\( A,B \) disjuntos
\(  \Leftrightarrow{} \forall{x} ((x\in{A}\Rightarrow{x\not\in{B}) \wedge (x\in{B}\Rightarrow{x\not\in{A})  \)
\(  \Leftrightarrow{} \forall{x} (\sim x\in{A}\vee {x\not\in{B})\wedge (\sim x\in{B}\vee {x\not\in{A})   \)
\(  \Leftrightarrow{} \forall{x} (\sim x\in{A}\vee {\sim x \in{B})\wedge (\sim x\in{B}\vee {\sim x \in{A})   \)
\(  \Leftrightarrow{} \forall{x} \sim( x\in{A}\wedge{ x \in{B})\wedge \sim (  x\in{B}\wedge{ x \in{A})   \)
\( \Leftrightarrow{ } \forall{x}  \sim(x\in A \wedge{x\in{B})  \)
\( \Leftrightarrow \forall{x}  (x\not\in A \cap B})  \)
\( \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset   \)


27 Octubre, 2011, 10:00 pm
Respuesta #32

argentinator

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Citar
(PD: No puedo ver bien mi mensaje antes de enviarlo, la ventana de previsualización es muy chiquita, se puede agrandar?)

Este problema ocurre en Chrome.
En otros navegadores no hay problemas.
Siempre ha sido así.
No sé si sea posible repararlo.

Habría que preguntar a la Administración sobre el asunto.

27 Octubre, 2011, 11:04 pm
Respuesta #33

feriva

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Hola, Argentinator. Este signo  \( \sim \) ¿se interpreta como "parecido a"? Por qué es necesario usarlo en la demostración de los conjuntos disjuntos que has puesto. Es algo que no recuerdo (de las muchas cosas que no recuerdo, vamos).

 Saludos.

27 Octubre, 2011, 11:10 pm
Respuesta #34

argentinator

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Ehhhh, cuando uno está acostumbrado a responder dudas, aprende a "adivinar" el significado de los signos que usa el que pregunta.

A los fines de los dos posts anteriores (pregunta y respuesta), el signo \( \sim \) significa "operador de negación lógica".

Si aparece así en otros lugares del Universo, vaya uno a saber.


27 Octubre, 2011, 11:16 pm
Respuesta #35

feriva

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Ehhhh, cuando uno está acostumbrado a responder dudas, aprende a "adivinar" el significado de los signos que usa el que pregunta.

A los fines de los dos posts anteriores (pregunta y respuesta), el signo \( \sim \) significa "operador de negación lógica".

Si aparece así en otros lugares del Universo, vaya uno a saber.



Gracias. Ya te dije que algunos signos los tengo olvidados, pero es que los de lógica, en su inmensa mayoría, ni me los sé, no es que los tenga olvidados; ¿hay por ahí algún hilo o alguna web buena donde vengan traducidos a palabras sus significados?

 Gracias y un saludo.

27 Octubre, 2011, 11:22 pm
Respuesta #36

argentinator

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No sé.

Lo importante es aprender a razonar, no qué signo se usa.

Los signos son una convención, varían de libro a libro y de época en época.

27 Octubre, 2011, 11:38 pm
Respuesta #37

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No sé.

Lo importante es aprender a razonar, no qué signo se usa.

Los signos son una convención, varían de libro a libro y de época en época.

Pues tienes razón en eso de que cambian con el tiempo, porque ahora he mirado en Wikipedia las leyes de Morgan, y en vez de venir expresadas con el complementario "c" y tal, como yo las conocía, vienen con unas "L" tumbadas que ahora miraré a ver lo que quieren decir (me suenan de verlas aquí en algunos posts de lógica). Se ve que me tengo que poner al día y aprender esos signos.

Gracias.

28 Octubre, 2011, 01:00 am
Respuesta #38

Fran Colegiales

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Hola Argentinator:

Acabo de leer la corrección. No estoy de acuerdo en que el signo de negación (en este caso usé \( "\sim{}" \) porque no podía poner "¬" en la fórmula. Es el signo que se usa en "Introducción a la lógica" de Copi, y en "Principia Mathematica" de Russell y Whitehead, pensé que sería usual) no pueda usarse así.
La versión que tengo de las reglas sintácticas de lógica de predicados (Sacadas de L.T.F. Gamut "Introducción a la lógica") dice: "Si \(  \varphi \) es una fórmula del lenguaje L, entonces \( \sim{} \varphi \) también lo es".
No alcanzo a ver el problema, ¿Tiene que ver con que esta regla es válida para lógica pero no para teoría de conjuntos?

Saludos.

28 Octubre, 2011, 07:10 am
Respuesta #39

argentinator

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Fran, no te preocupes por los signos, que da igual, yo los entendí, y eso es todo.

El problema no son los signos, sino el razonamiento que usaste.
Pienso que tiene varios pasos incorrectos.

Si querés te digo en qué pasos pienso que están los errores,
pero podrías por ahora comparar con lo que hice yo.
Además, una manera de autocorregirse es preguntarse qué propiedad o ley lógica usaste en cada paso.

Las dos equivalencias lógicas que usé, las especifiqué claramente antes de empezar la deducción.
Además, me tomé un tiempo para "traducir" algo como \( x\not\in A \) a la forma \( \sim(x\in A) \), que es mera cuestión de notación, pero quería "uniformar" para que se vea clarito el cálculo deductivo.

Saludos