[Luis Fuentes]

Hola

Cierto que no tiene porque ser así.

[texx] a=b^2·d·e^3 [/texx];

 Vuelves a tomar un caso particular, que, si razonases como te sugerí del principio no tendrías ni que considerarlo. Si usas el mismo argumento que te dije aquí:

Si suponemos que \( a,x \) son coprimos. Entonces el único posible factor común de \( x \) y \( 3(a+x)a+x^2 \) es el \( 3 \).

Entonces hay dos opciones:

- O bien \( x \) es múltiplo de \( 3 \).
- O bien \( x \) no es múltiplo de \( 3 \), y entonces de la coprimalidad de  \( x \) y \( 3(a+x)a+x^2 \) y de \( x(3(a+x)+x^2)=c^4
 \) lo que se deduce es que \( x \) divide a \( c^4 \) (distinto de \( x \) divide a \( c \)) y de hecho es una cuarta potencia. Es decir \( x=d^4 \) con \( d \) factor de \( c \).

 (pero ahora intercambiando los papeles de \( a \) y \( x \)) verías que el caso no trivial aparece cuando \( a=d^4 \) con \( d \) divisor de \( c \) (pongamos \( c=df \)).

 Entonces de:

\( a^3+3ax(a+x)=c^4 \)

 Lo que se deduce es:

\(  d^{12}+3d^4x(d^4+x)=d^4f^4 \)
\( d^8+3x(d^4+x)=f^4 \)

 y de ahí no puedes sacar ninguna conclusión sobre factor común entre \( x,a \) y \( c \).

 Si insistes en considerar casos particulares triviales, podemos estar así años, pero no servirán para nada.

Saludos.

[Gonzo]

Hola

Entonces hay dos opciones:

- O bien \( x \) es múltiplo de \( 3 \).
- O bien \( x \) no es múltiplo de \( 3 \), y entonces de la coprimalidad de  \( x \) y \( 3(a+x)a+x^2 \) y de \( x(3(a+x)+x^2)=c^4
 \) lo que se deduce es que \( x \) divide a \( c^4 \) (distinto de \( x \) divide a \( c \)) y de hecho es una cuarta potencia. Es decir \( x=d^4 \) con \( d \) factor de \( c \).

 (pero ahora intercambiando los papeles de \( a \) y \( x \)) verías que el caso no trivial aparece cuando \( a=d^4 \) con \( d \) divisor de \( c \) (pongamos \( c=df \)).

 Entonces de:

\( a^3+3ax(a+x)=c^4 \)

 Lo que se deduce es:

\(  d^{12}+3d^4x(d^4+x)=d^4f^4 \)
\( d^8+3x(d^4+x)=f^4 \)

Aunque si añadimos x, es decir, la ecuación inicial:

\(  d^{12}+3d^4x(d^4+x)+x^3=d^4f^4+x^3 \)

Al dividir todo entre \(  d^4 \) el resultado no es un número entero, ¿cierto?

\( d^8+3x(d^4+x)+\displaystyle\frac{x^3}{d^4}=f^4+\displaystyle\frac{x^3}{d^4} \)

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Aunque si añadimos x, es decir, la ecuación inicial:

\(  d^{12}+3d^4x(d^4+x)+x^3=d^4f^4+x^3 \)

Al dividir todo entre \(  d^4 \) el resultado no es un número entero, ¿cierto?

\( d^8+3x(d^4+x)+\displaystyle\frac{x^3}{d^4}=f^4+\displaystyle\frac{x^3}{d^4} \)

No es un número entero a ambos lados de la igualdad. ¿Y?. Eso es perfectamente posible. Por ejemplo:

\( 2^3+6^3=224 \)

\( 2^3+6^3+1=224+1 \)

dividiendo por \( 2^3 \):

\( 1+3^3+\dfrac{1}{2^3}=28+\dfrac{1}{2^3} \)

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Cierto que es posible.

Aunque.

\(  d^{12}+3d^4x(d^4+x)=d^4f^4 \)
\( d^8+3x(d^4+x)=f^4 \)

\( d^8+3x(d^4+x)=f^4 \);
\( d^8+3x(d^4+x)=(d^2+\sqrt[ ]{x}·s)^4 \)

Entonces d y x ¿tendrían un factor común? ¿cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

\( d^8+3x(d^4+x)=f^4 \);
\( d^8+3x(d^4+x)=(d^2+\sqrt[ ]{x}·s)^4 \)

Entonces d y x ¿tendrían un factor común? ¿cierto?

Pues no, no es cierto. Es una afirmación gratuita sin ningún fundamento.

¿Te has preguntando tu mismo porqué había ser ser ciero?¿Le has dado alguna vuelta?. ¿Por qué preguntabas si es cierto eso?¿qué indicio tenías?¿cómo razonaste?.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] (a+x)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+x)·ax+x^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];

[texx] x=d^4; c^4=q^4·d^4[/texx];

[texx] 3(a+ d^4)·a·d^4 + d^{12}= q^4·d^4 [/texx];
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= q^4 [/texx];

[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= (3^{1/4}·a^{1/4}·z+d^2)^4 [/texx];

[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)^{1/4}·z+d^2)^4 [/texx];

[texx] 3 a^2 + 3 a d^4 + d^8 = 4·3^{3/4}a^{3/4} d^2 z^3 + 4·3^{1/4}·a^{1/4}·d^6 z + 6 (3)^{1/2}(a)^{1/2} d^4 z^2 + 3a z^4 + d^8 [/texx];

[texx] 3 a^2 + 3 a d^4 = 4·3^{3/4} a^{3/4} d^2·z^3 + 4·3^{1/4} a^{1/4} d^6 z + 6(3)^{1/2} (a)^{1/2}·d^4 z^2 + 3 a z^4 [/texx];

[texx] 3 a (a + d^4) = a^{1/4}· z (3 a^{3/4}· z^3 + 6 (3)^{1/2} a^{1/4}d^4 z + 4·3^{3/4}·(a) ^{1/2} d^2 z^2 + 4·3^{1/4}·d^6) [/texx];

De la ecuación* [texx] a^{1/4} z (3 a^{3/4} z^3 + 6 (3)^{1/2} a^{1/4} d^4·z + 4·3^{3/4}·(a)^{1/2}·d^2 z^2 + 4·3^{1/4}·d^6) [/texx]

hay que obtener un producto tal que uno de sus factores sea, a, es decir [texx] 3 a (a + d^4) [/texx].

Si se observa la ecuación*, en concreto, [texx](3 a^{3/4} z^3 + 6 (3)^{1/2} a^{1/4} d^4·z + 4·3^{3/4}·(a)^{1/2}·d^2 z^2 + 4·3^{1/4}·d^6) [/texx]   todos sus sumandos tienen a, entre los factores de los productos, excepto [texx] 4·3^{1/4} d^6[/texx].

En consecuencia, necesariamente, [texx] 4·3^{1/4}d^6) [/texx], debe tener, entre los factores, de su producto, a.

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

[texx] (a+x)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+x)·ax+x^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];

[texx] x=d^4; c^4=q^4·d^4[/texx];

[texx] 3(a+ d^4)·a·d^4 + d^{12}= q^4·d^4 [/texx];
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= q^4 [/texx];

[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= (\color{red}3^{1/4}·a^{1/4}·z+d^2\color{black})^4 [/texx];

No se de donde sale lo que he marcado en rojo. Pero además...

[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)^{1/4}·z+d^2)^4 [/texx];

[texx] 3 a^2 + 3 a d^4 + d^8 = 4·3^{3/4}a^{3/4} d^2 z^3 + 4·3^{1/4}·a^{1/4}·d^6 z + 6 (3)^{1/2}(a)^{1/2} d^4 z^2 + 3a z^4 + d^8 [/texx];

[texx] 3 a^2 + 3 a d^4 = 4·3^{3/4} a^{3/4} d^2·z^3 + 4·3^{1/4} a^{1/4} d^6 z + 6(3)^{1/2} (a)^{1/2}·d^4 z^2 + 3 a z^4 [/texx];

[texx] 3 a (a + d^4) = a^{1/4}· z (3 a^{3/4}· z^3 + 6 (3)^{1/2} a^{1/4}d^4 z + 4·3^{3/4}·(a) ^{1/2} d^2 z^2 + 4·3^{1/4}·d^6) [/texx];

De la ecuación* [texx] a^{1/4} z (3 a^{3/4} z^3 + 6 (3)^{1/2} a^{1/4} d^4·z + 4·3^{3/4}·(a)^{1/2}·d^2 z^2 + 4·3^{1/4}·d^6) [/texx]

hay que obtener un producto tal que uno de sus factores sea, a, es decir [texx] 3 a (a + d^4) [/texx].

Si se observa la ecuación*, en concreto, [texx](3 a^{3/4} z^3 + 6 (3)^{1/2} a^{1/4} d^4·z + 4·3^{3/4}·(a)^{1/2}·d^2 z^2 + 4·3^{1/4}·d^6) [/texx]   todos sus sumandos tienen a, entre los factores de los productos, excepto [texx] 4·3^{1/4} d^6[/texx].

Estás usando números posiblemente irracionales, por ejemplo cuando pones \( a^{3/4} \). No tiene sentido que digas que \( a \) es un factor de ese término.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)^{1/4}·z+d^2)^4 [/texx].

Se supone que el 3a debe ser el producto del primer sumando de [texx] (3a+d^2)^4 [/texx]. Porque al sumar todos los sumandos del triángulo de Pascal hay que obtener un número multiplicado por 3a más [texx] d^8[/texx].

En consecuencia, donde pone:
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)^{1/4}·z+d^2)^4 [/texx]; Caso muy concreto.

Debe de poner:
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)+d^2)^4 [/texx]. Caso más general.

Aunque se llega a una contradicción.

[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)+d^2)^4 [/texx].

[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)+d^2)^4 [/texx].

[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= 81 a^4 + 108 a^3 d^2 + 54 a^2 d^4 + 12 a d^6 + d^8 [/texx].

[texx] 3(a+ d^4)·a = 81 a^4 + 108 a^3 d^2 + 54 a^2 d^4 + 12 a d^6 [/texx].

[texx] 3a(a+ d^4)·= 3 a (3 a + 2 d^2) (9 a^2 + 6 a d^2 + 2 d^4) [/texx].

[texx] (a+ d^4)·= (3 a + 2 d^2) (9 a^2 + 6 a d^2 + 2 d^4) [/texx].

Si se introducen números enteros donde a y d, [texx] (3 a + 2 d^2) (9 a^2 + 6 a d^2 + 2 d^4) [/texx] nunca será igual a[texx] (a+ d^4) [/texx]. Consecuentemente se alcanza una contradicción.

Si se analiza:
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)z+d^2)^4 [/texx]. La conclusión es similar que si [texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)+d^2)^4 [/texx].

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)^{1/4}·z+d^2)^4 [/texx].

Se supone que el 3a debe ser el producto del primer sumando de [texx] (3a+d^2)^4 [/texx]. Porque al sumar todos los sumandos del triángulo de Pascal hay que obtener un número multiplicado por 3a más [texx] d^8[/texx].

No sé que quieres decir con lo que he marcado en rojo. Para mi no tiene sentido. En cualquier caso.

Debe de poner:
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)+d^2)^4 [/texx]. Caso más general.

No se de donde te sacas esa igualdad.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] 3·a(a+ d^4) + d^8= (x+d^2)^4; [/texx].

[texx] 3·a(a+ d^4) + d^8= x^4+4·x^3·d^2 + 6·x^2·d^4+ 4·x·d^6+ d^8 [/texx].

[texx] 3·a(a+ d^4) = x^4+4·x^3·d^2 + 6·x^2·d^4+ 4·x·d^6 [/texx].

[texx] 3·a(a+ d^4) = x(x^3+4·x^2·d^2 + 6·x·d^4+ 4·d^6 )[/texx].

Y de ahí no se deduce ninguna contradicción y relación de las variables, ¿cierto?

Atentamente.