Buenas a todos,
estoy atascado con el siguiente ejercicio:

\( (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i)^{2020} \)

(indicación: escribe \( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \) en forma polar y observa que 2016 es múltiplo de 8)

Módulo = \( \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}})^{2} \) = 1

Argumento = \( \arctan{\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}} \) = \( \arctan{(-1)} \) = -45 = 315

Con esto tengo el numero complejo en forma polar \( 1_{315} \) y puedo utilizar:

\( (r_{\theta})^{n} = r^{n}_{n\theta}  \)

Pero claro, n = 2020 es una potencia muy alta, me da valores muy grandes y no puedo usar calculadora. La indicación no sé para que usarla directamente.

Con la calculadora y usando la fórmula de De Moivre \( z^{n} = r^{n}(\cos{n\theta} + i\sin{n\theta}) \) consigo llegar a que la solución es -1 que creo que es correcta, pero claro, debería poder hacerlo sin calculadora. ¿Algún consejo para simplificar o trabajar con ese valor tan grande?

Gracias

Buenas a todos, tengo el siguiente ejercicio:

Demostrar que \( 5^x+2=7^y \) no tiene soluciones en \( \mathbb{N} \) distintas de la trivial \( x=y=1 \)

Lo primero que intenté fue despejar \( y \) tomando logaritmos neperianos pero no lo vi claro, ¿se podría demostrar con congruencias?

Gracias, un salduo.