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Mensajes - yuzo

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Hola; sólo una idea.

Mi consejo es que, antes de aplicar Euler, el teorema del pequeño Fermín o lo que sea, expreses todo lo que puedas en función del módulo

Perdón, que creí era módulo 11

Spoiler

\( (102^{73}+55)^{37}=(102^{66}\cdot102^{7}+5\cdot11)^{33}\cdot(102^{66}\cdot102^{7}+5\cdot11)^{4}
  \)

y a partir de ahí, mira a ver qué se te ocurre.

[cerrar]

Saludos.

Hola feriva, gracias por contestar, no sabría como seguir, no lo veo tan sencillo como simplificándolo, ¿cómo seguiría?


Pongo la resolución que te propuse

\( (102^{73}+55)^{37}\equiv 1(mod 3) \)

\( (102^{73}+55)^37\equiv (-9(-9^{36})^2+18)^{37}\equiv (-9+18)^37\equiv 9(9^{36})\equiv 9(mod 37) \)

Ahora con el teorema chino del resto

3(3)+37=46

Saludos



Perfecto ingmarov! Es justo lo que buscaba, gracias  ;)

2
Hola a todos, tengo el siguiente ejercicio:

Determinar el resto de dividir \( (102^{73}+55)^{37} \) entre \( 111 \)

Me piden \( (102^{73}+55)^{37} \)\( \equiv x {(mod 111)} \)

Para empezar he calculado la función \( \varphi \) de Euler de 111; \( \varphi(111) = \varphi(3)\varphi(37)=72 \)

He calculado las congruencias módulo 111 de la base y el exponente para simplificar:

\( 102^{73}+55\equiv{46}(mod 111) \) y \( 37\equiv{37}(mod 111) \)

Tendría \( 46^{37}\equiv{x(mod 111)} \) pero a partir de aquí no sé como seguir, he pensado plantear un sistema de congruencias

\begin{array}{c} a\equiv{x(mod3)} \\ a\equiv{y(mod 37)} \end{array} al ser los módulos primos entre sí tendría solución común en (mod 111) pero no sé cómo seguir.

Gracias, un saludo.

3
Perdón yuzo lo que propuse está mal,para la revisión espera alguien más despierto.

Sin problema Juan, gracias de todas formas  ;)

Gracias también ingmarov y martiniano, sería interesante ver otro tipo de demostración, a ver si alguien se anima y la deja por aquí.

Un saludo.

4
Tienes que \( 5^x = 5 \cdot 5^{x-1} = 5 \cdot m  \).
\( 7^y = (5+2)^y = 2^y + 5 \cdot p  \) por el binomio de Newton.
\(  5 \cdot m +  2 = 2^y \cdot 5 \cdot p  \) entonces:
\(  5 \cdot m  - 5 \cdot p = 2^y - 2  \)
\(  5 \cdot (m-p) = 2^y - 2 = 2 \cdot (2^{y-1} - 1)  \) intenta seguir.

Hola Juan, gracias por contestar.

La verdad, no sabría como seguir con esa demostración, ¿podrías decirme como termina para verla completa?, no obstante he seguido pensando como hacerlo con congruencias.

Para \( x\geq{2} \) las potencias de 5 son de la forma \( 25 + a\cdot{100} \), entonces \( 5^x + 2 \) será \( 27 +a\cdot{100} \), por tanto:

\( 5^x + 2 \equiv{27}(mod 100) \)

En cambio, para cualquier \( y \) las potencias de 7 podrán tener restos:

\( 7^y\equiv{{1,7,43,49}}(mod 100) \)

No coinciden salvo x=y=1

¿Estaría bien así?
Un saludo.

5
Buenas a todos, tengo el siguiente ejercicio:

Demostrar que \( 5^x+2=7^y \) no tiene soluciones en \( \mathbb{N} \) distintas de la trivial \( x=y=1 \)

Lo primero que intenté fue despejar \( y \) tomando logaritmos neperianos pero no lo vi claro, ¿se podría demostrar con congruencias?

Gracias, un salduo.

6
Hola

Hola Luis, gracias por contestar.

Si hago \( f(x)=x \) entonces me queda que x = \( \sqrt[ ]{a} \)

Sería \(  x=\pm \sqrt{a} \), es decir, hay dos soluciones.

Luego al derivar, \( f^{\prime}(x) \) = \( \displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{a}{2x^2} \)

Citar
Cuando evalúo, me sale cero y no sé cómo interpretarlo, si es que lo anterior está bien. En los ejercicios que tengo no había usado nunca un parámetro, ando bastante perdido.

Si \( |f'(x_0)|<1 \) el punto de equilibrio es atractivo.

Saludos.

Vale, entendido, gracias Luis, un saludo ;)

7
Hola

 Bienvenido al foro.

Buenas noches, tengo el siguiente ejercicio y no sé cómo plantearlo:

Para cada número real \( a > 0 \), denotemos por \( \sqrt[ ]{a} \) a la única raíz cuadrada positiva de \( a \). Para dicho \( a \), consideremos la función:

\( f_a(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right) \)

definida para \( x\neq{} 0 \) .

Calcular y estudiar la estabilidad de los puntos de equlibrio del sistema dinámico discreto:

\( A(n+1) =f_a(A(n)) \)

en función del parámetro \( a > 0 \).

En estos ejercicios resuelvo \( f(a)=a \), luego derivo la función y calculo la derivada en los puntos para ver la estabilidad, pero aquí no sé como plantear el problema para empezar. ¿Alguna pista? Gracias de antemano ;)

 ¿Por qué no empiezas exactamente cómo dices?. Resolviendo \( f(x)=x \) y evaluando la derivada en los puntos obtenidos.

Saludos.

Hola Luis, gracias por contestar.

Si hago \( f(x)=x \) entonces me queda que x = \( \sqrt[ ]{a} \)

Luego al derivar, \( f^{\prime}(x) \) = \( \displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{a}{2x^2} \)

Cuando evalúo, me sale cero y no sé cómo interpretarlo, si es que lo anterior está bien. En los ejercicios que tengo no había usado nunca un parámetro, ando bastante perdido.

Un saludo Luis.

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Buenas noches, tengo el siguiente ejercicio y no sé cómo plantearlo:

Para cada número real \( a > 0 \), denotemos por \( \sqrt[ ]{a} \) a la única raíz cuadrada positiva de \( a \). Para dicho \( a \), consideremos la función:

\( f_a(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right) \)

definida para \( x\neq{} 0 \) .

Calcular y estudiar la estabilidad de los puntos de equlibrio del sistema dinámico discreto:

\( A(n+1) =f_a(A(n)) \)

en función del parámetro \( a > 0 \).

En estos ejercicios resuelvo \( f(a)=a \), luego derivo la función y calculo la derivada en los puntos para ver la estabilidad, pero aquí no sé como plantear el problema para empezar. ¿Alguna pista? Gracias de antemano ;)

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