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Temas - yuzo

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Hola a todos, tengo el siguiente ejercicio:

Determinar el resto de dividir \( (102^{73}+55)^{37} \) entre \( 111 \)

Me piden \( (102^{73}+55)^{37} \)\( \equiv x {(mod 111)} \)

Para empezar he calculado la función \( \varphi \) de Euler de 111; \( \varphi(111) = \varphi(3)\varphi(37)=72 \)

He calculado las congruencias módulo 111 de la base y el exponente para simplificar:

\( 102^{73}+55\equiv{46}(mod 111) \) y \( 37\equiv{37}(mod 111) \)

Tendría \( 46^{37}\equiv{x(mod 111)} \) pero a partir de aquí no sé como seguir, he pensado plantear un sistema de congruencias

\begin{array}{c} a\equiv{x(mod3)} \\ a\equiv{y(mod 37)} \end{array} al ser los módulos primos entre sí tendría solución común en (mod 111) pero no sé cómo seguir.

Gracias, un saludo.

2
Buenas a todos, tengo el siguiente ejercicio:

Demostrar que \( 5^x+2=7^y \) no tiene soluciones en \( \mathbb{N} \) distintas de la trivial \( x=y=1 \)

Lo primero que intenté fue despejar \( y \) tomando logaritmos neperianos pero no lo vi claro, ¿se podría demostrar con congruencias?

Gracias, un salduo.

3
Buenas noches, tengo el siguiente ejercicio y no sé cómo plantearlo:

Para cada número real \( a > 0 \), denotemos por \( \sqrt[ ]{a} \) a la única raíz cuadrada positiva de \( a \). Para dicho \( a \), consideremos la función:

\( f_a(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right) \)

definida para \( x\neq{} 0 \) .

Calcular y estudiar la estabilidad de los puntos de equlibrio del sistema dinámico discreto:

\( A(n+1) =f_a(A(n)) \)

en función del parámetro \( a > 0 \).

En estos ejercicios resuelvo \( f(a)=a \), luego derivo la función y calculo la derivada en los puntos para ver la estabilidad, pero aquí no sé como plantear el problema para empezar. ¿Alguna pista? Gracias de antemano ;)

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