Hola.
Los hexágonos \( \left<{ABCDEF}\right> \) y \( \left<{DGHIJK}\right> \) son regulares y los puntos \( \left\{{A,B,H,I}\right\} \) son concíclicos. Demostrar que los puntos \( \left\{{A,D,H}\right\} \) de un lado, y \( \left\{{B,D,I}\right\} \) de otro, están alineados. O equivalentemente, que el ángulo \( \alpha=90^\circ{} \).
Sea \[ P \] la intersección de las rectas \[ AB \] y \[ HI \]. Considera la paralela a \[ HI \] por \[ D \] y sea \[ Q \] su intersección con \[ AB \]. Sean también \[ l \] el lado del primer hexágono y \[ r \] la razón de semejanza.
Primero tenemos que:
\[ BD=l\sqrt[ ]{3} \]
\[ BH=rl\sqrt[ ]{3} \]
También tenemos que, aplicando Pitágoras a los triángulos \[ PBD \] y \[ PHD \]:
\[ PH^2+3l^2r^2=PB^2+3l^2 \]
\[ PH=\sqrt[ ]{PB^2+3l^2(1-r^2)} \]
Entonces, por la potencia del punto \[ P \] los puntos \[ A, B, H, I \] son concíclicos si, y sólo si:
\[ PB\cdot{}(PB+l)=PH\cdot{} (PH+lr) \]
Substituyendo la expresión que hemos indicado para \[ PH \], agrupando términos y dividiendo por \[ l \]:
\[ PB-3l=r\sqrt[ ]{PB^2+3l^2-3l^2r^2}-3lr^2 \]
Aislando la raíz, elevando al cuadrado, y con alguna otra operación:
\[ (r^2-1)(PB^2-6PB\cdot{l}-9l^2(r^2-1)-3l^2r^2) =0 \]
De aquí que, o bien \[ r=1 \] y los hexágonos son iguales o bien que
\[ (PB-3l)^2-12l^2r^2=0\;\Leftrightarrow{} \]
\[ PB=3l\pm{}2rl\sqrt[ ]{3} \].
La solución con el más corresponde a la situación del enunciado, ya que en otro caso sería o bien \[ BQ<3l \] y \[ PQ<2rl\sqrt[ ]{3} \] o bien \[ BQ>3l \] y \[ PQ>2rl\sqrt[ ]{3} \].
La solución con el menos corresponde a la situación en que los puntos \[ A, D, H \] están igualmente alineados pero con D en un extremo.
Saludos.
