[ancape]

Creo que el problema que yo planteé, formulado arriba, sigue irresuelto. Hay que añadir la precisión de que los hexágonos no sean congruentes, en cuyo caso el ángulo podría ser cualquiera.

Ignacio
Creo que la respuesta que di en #6, resuelve el problema. Una vez que tengamos el primer hexágono ABCDEF, trazamos las rectas AD y BD. Elegimos un punto H cualquiera en AD. El punto I tiene necesariamente, para que ABHI sean concíclicos, que estar en la perpendicular a AD por D.
Si no es así, el resultado no es cierto, pueden ser concíclicos ABHI y las rectas AH y BI cortarse en un punto S que no sea D.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Creo que el problema que yo planteé, formulado arriba, sigue irresuelto. Hay que añadir la precisión de que los hexágonos no sean congruentes, en cuyo caso el ángulo podría ser cualquiera.

Ignacio
Creo que la respuesta que di en #6, resuelve el problema. Una vez que tengamos el primer hexágono ABCDEF, trazamos las rectas AD y BD. Elegimos un punto H cualquiera en AD. El punto I tiene necesariamente, para que ABHI sean concíclicos, que estar en la perpendicular a AD por D.
Si no es así, el resultado no es cierto, pueden ser concíclicos ABHI y las rectas AH y BI cortarse en un punto S que no sea D.

Saludos

Pero en principio, no hay ninguna razón para que H esté en AD. Si H está en AD entonces si, inexorablemente I estará en BD y el ángulo es de \( 90^\circ{} \).

Saludos,

[ancape]

.......
Pero en principio, no hay ninguna razón para que H esté en AD. Si H está en AD entonces si, inexorablemente I estará en BD y el ángulo es de \( 90^\circ{} \).
......

Ignacio
Tal vez no he entendido bien el enunciado del problema. Voy a exponer con detalle mi razonamiento.

-Tomamos el hexágono regular ABCDEF
-Trazamos las rectas AD y BD
-Con el vértice H del segundo hexágono pueden suceder dos cosas:
       Primera que esté en la recta AD. En ese caso, necesariamente I está en BD y ya está demostrado.
       Segunda que no esté en la recta AD. En ese caso trazamos la circunferencia que determinan los puntos A,B,H y podemos tomar una punto en ella I que haga que el punto de corte S no sea D (ver figura en mi última respuesta #10), sin embargo A,B,H,I son concíclicos.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola a todos el enunciado es falso no se puede demostrar que el angulo es unico de 90 grados,


en la siguiente construcción dejando los puntos  C y G fijos puedo variar el punto D sobre el eje y cambiando la longitud de los lados de los hexagonos y variando  $$\alpha$$ a placer y siempre logro que ABH e I sean concíclicos.






la simetría especular garantiza eso, pero imagino que si los lados no son iguales  tambien se debe cumplir.


Como no se habla de longitud especifica de lados entonces no se puede demostrar.
 

[Ignacio Larrosa]

Hola a todos el enunciado es falso no se puede demostrar que el angulo es unico de 90 grados,

Si, ya dije antes que el enunciado debería incluir que los hexágonos no sean congruentes. Entonces si que creo que es cierto, aunque sigo sin ver clara la demostración.

Saludos,

[Richard R Richard]

Hola observa lo siguiente, de mi última figura, el hexágono izquierdo déjalo como está, piensa en variar la longitud de cada lado del otro hexágono , observa que la recta perpendicular a HI que pasa por su punto medio tiene un solo punto de intersección con un arco de circunferencia que une a HI también, eligiendo ese punto como tercer punto  por el que pasa una única circunferencia que contiene además a A y B , es fácil ver que para cada longitud de lados habrá un ángulo que se puede girar el segundo hexágono para que el punto medio pertenezca a la circunferencia y tenga su radio coincidente y con ello  se incluirían H e I al círculo. (cuando el radio sea el mismo y tengan la misma recta tangentes)
En resumidas cuentas al poderse girar el segundo Hexágono, $$\alpha$$ queda variable y no fijo.
Lamentablemente no soy muy ducho de GeoGebra ni muy hábil para explicar geometría, como para hacer dos deslizadores que varíen el ángulo y la longitud de los lados del hexágono para que se vea lo que quiero decir.
 

[ancape]

Si, ya dije antes que el enunciado debería incluir que los hexágonos no sean congruentes. Entonces si que creo que es cierto, aunque sigo sin ver clara la demostración.

Ignacio
Sigo pensando que el resultado no es cierto aunque los hexágono no sean congruentes.
El enunciado original que pusiste es:

'Los hexágonos ⟨ABCDEF⟩ y ⟨DGHIJK⟩ son regulares y los puntos {A,B,H,I} son concíclicos. Demostrar que los puntos {A,D,H} de un lado, y {B,D,I} de otro, están alineados.

La construcción de la figura que adjunto es:
Tomamos el hexágono regular ABCDEF
-Trazamos las rectas AD y BD
-Con el vértice H del segundo hexágono pueden suceder dos cosas:
       Primera que esté en la recta AD. En ese caso, necesariamente I está en BD y ya está demostrado.
       Segunda que no esté en la recta AD. En ese caso trazamos la circunferencia que determinan los puntos A,B,H y podemos tomar una punto en ella I que haga que el punto de corte S no sea D  sin embargo A,B,H,I son concíclicos.

Tenemos la siguiente situación:
'Los hexágonos ⟨ABCDEF⟩ y ⟨DGHIJK⟩ son regulares y los puntos {A,B,H,I} son concíclicos. Los puntos {A,D,H} de un lado, y {B,D,I} de otro, NO están alineados.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Si, ya dije antes que el enunciado debería incluir que los hexágonos no sean congruentes. Entonces si que creo que es cierto, aunque sigo sin ver clara la demostración.

Ignacio
Sigo pensando que el resultado no es cierto aunque los hexágono no sean congruentes.
El enunciado original que pusiste es:

'Los hexágonos ⟨ABCDEF⟩ y ⟨DGHIJK⟩ son regulares y los puntos {A,B,H,I} son concíclicos. Demostrar que los puntos {A,D,H} de un lado, y {B,D,I} de otro, están alineados.

La construcción de la figura que adjunto es:
Tomamos el hexágono regular ABCDEF
-Trazamos las rectas AD y BD
-Con el vértice H del segundo hexágono pueden suceder dos cosas:
       Primera que esté en la recta AD. En ese caso, necesariamente I está en BD y ya está demostrado.
       Segunda que no esté en la recta AD. En ese caso trazamos la circunferencia que determinan los puntos A,B,H y podemos tomar una punto en ella I que haga que el punto de corte S no sea D  sin embargo A,B,H,I son concíclicos.

Tenemos la siguiente situación:
'Los hexágonos ⟨ABCDEF⟩ y ⟨DGHIJK⟩ son regulares y los puntos {A,B,H,I} son concíclicos. Los puntos {A,D,H} de un lado, y {B,D,I} de otro, NO están alineados.

Saludos

Pero es que el punto D es común a ambos hexágonos: "Los hexágonos ⟨ABCDEF⟩ y ⟨DGHIJK⟩ ..."

Saludos,

[ancape]

........

Pero es que el punto D es común a ambos hexágonos: "Los hexágonos ⟨ABCDEF⟩ y ⟨DGHIJK⟩ ..."

Ignacio

A ver si acierto esta vez con la solución del problema.
-   Dibujamos un hexágono ABCDEF y un punto H cualquiera del plano
-   Dibujamos la circunferencia c que pase por A,B y H. H será uno de los vértices del segundo hexágono y D otro. Entre ellos debe estar un punto G de forma que DGH….
        formen un hexágono.
-   Trazamos por H una perpendicular a DH. El punto I que continúa el hexágono debe estar en tal recta y también en la circunferencia pues A,B,H,I son concíclicos. Además los
        segmentos DI y GH deben ser paralelos.
-   Como DH y GH deben formar un ángulo de 30º, DI también lo formará con DH por tanto B,D,I están alineados y también A,D,H.

Saludos

[Richard R Richard]

-   Dibujamos un hexágono ABCDEF y un punto H cualquiera del plano

Hola entiendo la idea detrás  de tu resolución, pero no estoy seguro que H sea un punto cualquiera del plano.


Lo que sí estoy seguro  es que para cada distancia que se nos ocurra entre H y D existirá un único ángulo $$\alpha$$ que puede o no ser igual a 90°  como pide el enunciado que garantiza que ABHeI sean conciclicos, como se demuestra no lo sé, le he dado vueltas y no me sale nada potable.


Si las longitudes de los lados son iguales ya mostré que la distancia H esta definida,   pero que  el ángulo $$\alpha$$ es arbitrario y siempre resultan H e I concíclicos con A y B . Eso es suficiente para que el enunciado no sea demostrable o bien falso, o falto de alguna relación de lados.


Saludos