[Ignacio Larrosa]

Los hexágonos \( \left<{ABCDEF}\right> \) y \( \left<{DGHIJK}\right> \) son regulares y los puntos \( \left\{{A,B,H,I}\right\} \) son concíclicos. Demostrar que los puntos \( \left\{{A,D,H}\right\} \) de un lado, y \( \left\{{B,D,I}\right\} \) de otro, están alineados. O equivalentemente, que el ángulo \( \alpha=90^\circ{} \).




Saludos,

[ancape]

Hola

Sea X el punto intersección de las tangentes en A y H a la circunferencia c que hace concíclicos a los puntos A,B,H,I. Sea Y el punto intersección de las tangentes a c en B e I. El polo de la recta XY respecto a c es el punto D.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola no es por ser tiquismiquis, pero si no se fija la relación de lados de los dos hexágonos puedes cumplir la premisa

Los hexágonos \( \left<{ABCDEF}\right> \) y \( \left<{DGHIJK}\right> \) son regulares y los puntos \( \left\{{A,B,H,I}\right\} \) son concíclicos.

y no resultar en la construcción de la figura y no sacar esas conclusiones

• Demostrar que los puntos \( \left\{{A,D,H}\right\} \) de un lado, y \( \left\{{B,D,I}\right\} \) de otro, están alineados.

• O equivalentemente, que el ángulo \( \alpha=90^\circ{} \).

Me equivoco?


Saludos

[Ignacio Larrosa]

Hola no es por ser tiquismiquis, pero si no se fija la relación de ladalos de lo dos hexagonos puedes cumplir la premisa

Los hexágonos \( \left<{ABCDEF}\right> \) y \( \left<{DGHIJK}\right> \) son regulares y los puntos \( \left\{{A,B,H,I}\right\} \) son concíclicos.

No, ese es el contraejemplo que andaba buscando, ¡Gracias!



y no resultar en la construcción de la figura y no sacar esas conclusiones

• Demostrar que los puntos \( \left\{{A,D,H}\right\} \) de un lado, y \( \left\{{B,D,I}\right\} \) de otro, están alineados.

• O equivalentemente, que el ángulo \( \alpha=90^\circ{} \).

Me equivoco?


Saludos

[Ignacio Larrosa]

Hola

Sea X el punto intersección de las tangentes en A y H a la circunferencia c que hace concíclicos a los puntos A,B,H,I. Sea Y el punto intersección de las tangentes a c en B e I. El polo de la recta XY respecto a c es el punto D.

Saludos

El polo sería el punto de corte de AH y BI, pero no necesariamente tendría que ser D. Estoy convencido que salvo excepeciones, como la expuesta por Richard R. Richard, es cierto. Pero no acabo de ver una prueba concluyente.

P.D.: Cuando pueda miraré lo de las normales a una cónica.

Saludos,

[Richard R Richard]

Hola

\( \dfrac{\overline{HD}}{\overline{ID}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{AD}}=\dfrac{\overline{HD}}{\overline{2L_2}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{2L_1}} \)

Puesto que

\( L_1=\overline{AB}=\dfrac{\overline{AD}}{2} \)

\( L_2=\overline{HI}=\dfrac{\overline{ID}}{2} \)

de donde

\( \dfrac{\overline{HD}}{\overline{BD}}=\dfrac{L_2}{L_1} \)

que tambien se cumple si vemos que

\( \overline{HD}=\dfrac{\sqrt3}{2}L_2 \)

\( \overline{BD}=\dfrac{\sqrt3}{2}L_1 \)

solo veo que se cumple esa relación si

\( I\hat D H=30° \wedge  A\hat D B =30°  \)

además que o bien

\(  |\overline{AD}|+|\overline{HD}|=|\overline{AH}|   \)

o bien


\(  |\overline{BD}|+|\overline{ID}|=|\overline{BI}|  \)

todavia no veo como relacionarlo con el radio de la circunferencia, pero creo que esa relación limita a un solo valor posible el ratio  \( \dfrac{L_2}{L_1} \) para cada circunferencia


Saludos

[ancape]

El polo sería el punto de corte de AH y BI, pero no necesariamente tendría que ser D. Estoy convencido que salvo excepciones, como la expuesta por Richard R. Richard, es cierto. Pero no acabo de ver una prueba concluyente.

Hola

Entiendo que D es el vértice opuesto a A en el primer hexágono y se trazan las rectas AD y BD. Una vez que elijamos un punto H en la recta AD, el punto I que determina el lado del segundo hexágono debe estar en la perpendicular por H a la recta AH, y esto cualquiera que sea el punto elegido en AD. Construimos un hexágono regular con lado HI y es disjunto con el primero o pasa por D pues la distancia de H a D es compatible con el lado HI. Creo que esto resuelve el problema.

Saludos

[Richard R Richard]

Si ponemos un origen en $$D$$ y tomamos eje $$x$$ paralelo a $$\overline{A H}$$, podemos  sacar cuanto debe valer $$x_c,y_c$$ las coordenadas del centro de la circunferencia

es decir las coordenadas de los 4 puntos  $$A,B,H,I$$ deben cumplir

\( (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2 \)

$$(2L_1+x_c)^2+y_c^2=R^2$$ EC A

$$(\sqrt3 L_2-x_c)^2+y_c^2=R^2$$ EC H

\( (\dfrac32 L_1+x_c)^2+(\dfrac{\sqrt3}{2}L_1+y_c)^2=R^2 \) EC B

\( (\sqrt 3 L_2-x_c)^2+(L_2-y_c)^2=R^2 \) EC I

para cualquier radio R hay 4 ecuaciones y 4 incógnitas $$(L_1, L_2, x_c, y_c)$$ por lo tanto solo queda  resolver en función de R...

Lo intenté pero  no me independizo nunca de las otras variables. Ya veré si lo tomo con calma.

Saludos

[ancape]

Si ponemos un origen en $$D$$ y tomamos eje $$x$$ paralelo a $$\overline{A H}$$, podemos  sacar cuanto debe valer $$x_c,y_c$$ las coordenadas del centro de la circunferencia

........

Richard, observa que al ser el ángulo AHI recto, la circunferencia tiene como centro el punto medio de A e I

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Los hexágonos \( \left<{ABCDEF}\right> \) y \( \left<{DGHIJK}\right> \) son regulares y los puntos \( \left\{{A,B,H,I}\right\} \) son concíclicos. Demostrar que los puntos \( \left\{{A,D,H}\right\} \) de un lado, y \( \left\{{B,D,I}\right\} \) de otro, están alineados. O equivalentemente, que el ángulo \( \alpha=90^\circ{} \).




Saludos,

Creo que el problema que yo planteé, formulado arriba, sigue irresuelto. Hay que añadir la precisión de que los hexágonos no sean congruentes, en cuyo caso el ángulo podría ser cualquiera.

Una vez establecido esto, determinar la relación entre el radio de la circunferencia y los lados de los hexágonos, así como la posición del centro de la circunferencia, creo que no tiene mayor problema.

Saludos,