En efecto, Cantor pone en una lista todos los números naturales.
¿Acaso eso está mal?
Y si eso no se puede hacer, ¿por qué razón?
A ver, Cantor no hace eso, simplemente porque no se puede. Y si alguien tiene la lista que supuestamente contiene todos los naturales que la comparta. .
Claro que Cantor no hace una lista de los naturales.
Pero llega un momento en que es complicado debatir siguiendo tus argumentos,
y hago lo que puedo para seguirte la corriente dentro de todas las cosas que estás diciendo,
muchas de las cuales no son correctas.
Cantor habla de una lista de forma "ilustrativa".
Nadie puede escribir una lista infinita de cosas, porque no hay suficiente tinta en el Universo.
Entonces, es injusto que pidas "que venga alguien y te escriba la lista".
No es eso de lo que estamos hablando.
Sí es claro que para Cantor hay un conjunto bien definido que consta a un solo tiempo, como un todo, de los números naturales.
La "idea" de lista se puede formalizar como un conjunto ordenado.
Los naturales, además de formar un conjunto, forman un conjunto bien ordenado.
Eso es formalizable con rigor, y al hablar de una "lista" solamente hago uso de una simplificación lingüística para evitar todo un formalismo tedioso,
que si lo escribiera, me tacharían de pedante,
y que presumo que no es necesario para el debate,
pero pareciera que sí que hace falta.
No tengo problemas en escribir todo el formalismo, por más que me lleve varias páginas, y a ver si eres capaz de rebatirme cada una de las líneas que escriba.
Y no es que yo sea imbatible, sino que la Matemática es imbatible.
Yo no haría más que reescribir formalismos que ya están probados como ciertos.
Por tanto, como no se puede hacer eso, lo que hace Cantor es puramente especulativo porque no podemos comprobar nada.
Toda la matemática que no verse sobre conjuntos finitos (y además nuuuuuuy pequeños) es especulativa.
Es una ciencia abstracta.
En otras palabras, lo que hace Cantor es imaginar cómo debería de ser la lista de los naturales. Y la concibe con un tamaño,
No es verdad eso que escribiste ahí.
Cantor ni nadie concibe la "lista" de los naturales como algo que tenga que tener un "tamaño", por la sencilla razón de que ningún matemático ha definido la palabra "tamaño".
Cantor concibe a los naturales como conformantes de un "conjunto", y eso no implica nada relativo a "tamaños".
Un conjunto es una entidad a la cual pertenecen elementos.
Y un elemento x pertenece a un conjunto X o no pertenece.
La propiedad que define al conjunto de los números naturales es la de que cada elemento que contiene es un número natural.
es decir, imaginando que iterando la lista de forma indefinida se llegará a un punto donde la lista ya no se podrá ampliar más porque expresa a todos los naturales. ¿Y dónde está es punto?
No está en ninguna parte, porque un conjunto no se define como un proceso que empieza y termina.
Un proceso que empieza y termina es, apenas, un programa de computadora que no se cuelga.
Un conjunto es otra cosa: es algo de lo que se puede afirmar si una entidad pertenece a él o no. Y en esa forma de trabajo no hay necesidad ni de primeros ni de últimos elementos.
Además, al hablar de conjuntos con un "'último elemento"
estás presuponiendo que la única forma de definir conjuntos es mediante relaciones de orden.
No todos los conjuntos se definen a partir de relaciones de orden,
sino a través de propiedades que son verdaderasa o falsas.
Si tomo como conjunto a los vértices de un hexágono que dibujo con mis propias manos,
no hay ningún vértice que sea el primero ni el último,
y sin embargo es un conjunto finito y claramente especificado.
Así que el hecho de no tener un último elemento no invalida a los números naturales como pasibles de conformar por ellos mismos un conjunto.
Que la "lista" (mejor dicho: el conjunto) de los números naturales no se puede ampliar más
no significa que tiene que haber un "último" número natural, sino que hay objetos que son números naturales y otros que no lo son.
De hecho, es posible ordenar a tooooodos los números naturales de manera que haya un primero y un último,
y aún así siguen siendo infinitos.
No tiene nada que ver una cosa con la otra.
Que un conjunto tenga primer y último elemento no tiene nnada que ver conque sea finito o infinito.
Eso es una estupidez.
Disculpame que lo diga así tan rudamente, pero es que es una realidad.
Y te pongo un ejemplo claro para que nos entendamos.
Supongamos que X denota un segmento con extreamos A y B:
X = AB.
Eso, en la geometría euclidiana.
Si suena muy vago, se puede hacer más concreto,
y simplemente elegir que X sea el segmento del intervalo [0,1] en la recta de números reales.
Claramente, en cualquiera de esos casos, X tiene un primer elemento y un último elemento,
y sin embargo nadie me va a venir a decir que X es "finito".
Y sin ir más lejos, esa definición de que algo es "infinito" si de un n puedo pasar a un n+1,
tampoco sirve como definición de conjunto infinito.
Acá te dibujo un segmento:
A ______________________________ B
No hace falta citar ni a Cantor ni a Poincaré para decir que eso es un conjunto de puntos
de la geometría de Euclides.
No hay que ser muy lúcido para darse cuenta que un segmento como ese es cualquier cosa menos finito,
ya que si fuera finito, podría escribir una lista enumerando sus puntos uno a uno, y esa lista terminaría.
Ahora yo te desafío a que des un procedimiento que recorra uno a uno los puntos del segmento AB, sin saltearse ninguno, y de forma tal que
de un punto \(P_n\) se pueda predecir cuál es el punto \(P_{n+1}\).
Ya que "ser infinito" consiste en poder hacer un procedimiento así, que de un elemento puedo pasar al siguiente, vaya a saber cómo,
pues bien, te pregunto: ¿cuál es el siguiente de cada punto en el segmento AB?
Se imagina tal punto en el infinito -sea lo que sea lo que eso significa.
No quiero ser puntilloso, ni agresivo, ni persecutorio,
pero cada cosa que afirmas es rebatible.
Cantor no se imaginó eso que estás diciendo que se imaginó. Es mentira.
Eso es falacia de espantapájaros.
En todo caso, eso es lo que te estás imaginando que Cantor se imaginó.
Eso sí que es un paralogismo.
vemos que Cantor pasa de concebir el infinito como la idea de que dado un $$n$$, entonces siempre encontraremos un $$n+1$$, a concebirlo como un elemento trascendente que delimita a todos los naturales, dotándolos de entidad y tamaño.
No. Falso. Cantor no hace eso en ningún momento.
Y de hacerlo, entonces ya lo hacía Dedekind mucho antes que Cantor.
Si un conjunto X es tal que, dado un elemento n de X,
siempre se puede pasar a un elemento distinto de X,
eso redunda en que el conjunto no puede ser finito.
Ya te dí una definición de infinitud, pero la obviaste.
Te la repetiría, pero mejor te doy otra más simple,
otra vez en el espíritu de Dedekind:
\[\exists x\in X:\, \exists f:(X\setminus\{x\})\to X:\, f(X\setminus\{x\}) = X.\]
Por si no te gusta el formalismo matemático, te lo parafreso un poco en español.
Viene a decir que:
Un conjunto X se define como "infinito"
si existe un elemento x de X
tal que existe una función sobreyectiva f
tal que f aplicada al conjunto X \ {x} tiene imagen todo el conjunto X.
Esa definición no requiere ni primeros ni últimos elementos.
Un conjunto es infinito o no lo es.
Para el caso del conjunto N de naturales, podríamos tomar como elemento x al 0,
y como función sobreyectiva a algo tan simple como f(x) = x - 1.
Cantor pensaba de esta manera las cosas,
es decir, con funciones y propiedades,
y no con iteraciones ni con recurrencias con último elemento, etc.
Esta es la base psicológica de las matemáticas que desarrolla Cantor.
La psicología matemática es una ciencia que aún nadie ha inventado.
No diga que no sea interesante, pero hablar con tanta seguridad
de algo que no existe es sospechoso.
Para mi esto no lo puede hacer, porque tergiversa la noción de infinito (está haciendo un paralogismo):
No tergiversa nada.
Sólo usa una noción de infinito que no te gusta,
y la noción de infinito que sí te gusta
a fin de cuentas no sirve ni para explicar algo tan simple como la infinitud de un segmento euclidiano.
la convierte en un número sobrenatural, dentro del conjunto de los naturales, cuya finalidad es limitar a los naturales con el fin de concebirlos como un "todo" inampliable y por tanto, con un tamaño.
Hay tantas falacias juntas en una sola frase, que es difícil discutirlas.
Primero que nada, que alguien defina una noción de conjunto infinito que no te guste,
no significa que sea sobrenatural.
Que defiendas una definición de infinito que a fin de cuentas sí te gusta,
no significa que no peque tampoco de sobrenatural.
Después de todo, tu definición de infinito admite algo teológico como la eternidad.
No es cierto que la finalidad de tomar a los números naturales como en todo sea limitarlos.
De hecho, todos los conjuntos, finitos, infinitos, o de los que te gusten, todos están limitados.
A un conjunto no lo limita su finitud o infinitud o la psicología de Cantor.
A un conjunto lo limita la propiedad que define cuáles son sus elementos y cuáles no lo son.
No sólo los naturales no son "ampliables".
Ningún conjunto es ampliable.
Y si un conjunto es ampliable, entonces ya no es un conjunto, sino otra cosa,
ya que eso contradice la noción de conjunto.
Un conjunto tiene los elementos que le tocó tener,
y no tiene los que le tocó no tener.
¿Desde cuándo a un conjunto se le permite ser "ampliable"?
Esas son patrañas viles para escapar de la discusión y no definir nunca nada.
Y que un conjunto no sea ampliable no significa que tenga un "tamaño",
porque la noción de "tamaño" es relativa.
Ningún conjunto tiene un "tamaño".
Los conjuntos tienen un "cardinal", y un cardinal es un "tamaño" sólo si es finito.
Cuando a un conjunto se le asigna una "tamaño", eso en realidad se llama una "medida",
y corresponde a la teoría de la medida decir cuál es el tamaño de un conjunto,
y peor aún, un mismo conjunto tendrá distintas medidas según la vara de medir que se use.
Si se usa la medida de "contar", todos los conjuntos infinitos miden los mismo,
aún si tienen diferente cardinal.
Entonces acá hay que ser claros en el uso que se va a hacer de la palabra "tamaño".
Si no, la palabra "tamaño" puede significar cualquier cosa,
y el conjunto de los números pares podría tener tamaño 19 porque uso 19 símbolos para definirlo:
\[P = \{x\in \mathbb N:\, \exists m\in\mathbb N(x = 2m)\}.\]
Pero el conjunto de los naturales no contiene nada que no sean números naturales,
Al fin algo en lo que sí coincido.
con lo cual no puede contener, por definición, ningún número que sea "infinito",
Tampoco tiene números "finitos" porque los números no son ni finitos ni infinitos.
Lo que son finitos o infinitos son los conjuntos.
Un número se puede usar como etiqueta para el cardinal de un conjunto finito.
Pero un número natural por sí mismo no es finito, ni nada.
y a través del cual se pueda decir que podemos hacer una lista inampliable con todos los naturales.
Que una lista no sea ampliable no tiene nada que ver con lo finito o lo infinito.
Si tomo los vértices de un triángulos: V = {A, B, C},
esa lista es finita, y no es ampliable.
Si la ampliara, ya no serían los vértices del triángulo ABC.
Si a los números naturales los ampliara agregando otra cosa,
esa otra cosa ya no serían números naturales.
No sé qué es lo que estás ampliando.
Más o menos creo que lo entiendo.
Estás viendo que hay un proceso por el cual,
si tengo varios palitos, puedo ampliar eso agregando siempre otro nuevo palito.
Pero eso no tiene nada que ver con lo que les pasa a los naturales.
Una cosa es un proceso que hago yo para "entender algo"
y otra cosa distinta es que la estructura de ese algo "sea un proceso".
Los números no son un proceso secuencial, sino que forman un conjunto.
Y en todo caso, si no te gusta que formen un conjunto, es otra discusión aparte.
Es que, insisto, no existe la lista de todos los naturales. Y tampoco nos la podemos imaginar sino incurriendo en un paralogismo: dotar de propiedades finitas, pero superiores, a lo infinito. De algún modo es lo que hacían los griegos: se diviniza dotando de características humanas a lo infinito.
Yo tampoco me puedo imaginar la lista de todos los naturales,
porque no me caben en la cabeza, la cual puede generar a la vez sólo un número finito de cosas.
Pero eso no significa que tus argumentos sean válidos.
Porque seguramente estás de acuerdo en que sí que tiene sentido hablar de una lista de 1 millón de cosas, pero tu cerebro no es capaz de imaginarlo.
Así que los números no están dados por lo que tu cerebro sea capaz o no de imaginar,
ya que no creo que me niegues que el número 1 millón existe,
sin importar que lo puedas imaginar o no.
Si agarro un puñado de granos de arena, y los pongo en un aparato que los cuenta, quizás llegue fácilmente al millón.
Aún así, en la imaginación no puedo concebir esos granos uno a uno.
Tampoco puedo imaginar una secuencia de las gotas de agua del océano una a una,
pero es cierto que hay una cantidad finita y específica de moléculas de agua en el océano en un momento dado.
Si hay una lista cerrada e inampliable con todos los naturales significa que hay un último natural que cierra la lista,
Falso.
Y ya te dije por qué.
El segmento AB: A ___________________ B
tiene primer y último elemento, está cerrado, es inampliable,
no se le puede agregar ningún otro punto (porque dejaría de ser el segmento AB),
y sigue siendo un conjunto concreto e infinito.
pero dado cualquier natural siempre le podemos sumar +1 y ampliar. ¿Cuál sería el último natural que cerraría esa lista inampliable?
Ah no, último elemento no hay.
Pero si tomo un tria circunferencia, resulta que no hay último punto,
y tampoco tiene sentido ampliarla sin que deje de ser la circunferencia que era.
Igual tiene infinitos puntos.
Estamos ante un paralogismo.
Me temo que la mayoría de tus afirmaciones son un paralogismo.
Estás todo el tiempo anteponiendo tus prejuicios de lo que es la Matemática
antes que lo que la Matemática realmente dice.
Todos esos próceres que vas nombrando: Cantor, Poincaré, Hilbert, Frege, etc.
SON ANTIGUOS.
Esas discusiones son de 150 años atrás,
y muchas cosas han cambiado en la Matemática desde entonces.
Más aún.
Yo no estoy ni defendiendo a Cantor ni atacando a Poincaré.
Solamente te estoy rebatiendo a TI.
Se puede decir que la lista de todos los naturales es infinita, pero no se puede tomar en serio que por ello tenga un tamaño (sea inampliable y cerrada) porque no es posible.
Toda lista y todo conjunto es inampliable, tenga o no tenga último elemento.
Cuando Euclides decía que un segmento era "ampliable",
quería decir que estaba contenido en otro segmento que tenía aún más puntos nuevos que el segmento original.
Cuando vos decís que los naturales son "ampliables",
estás aludiendo al procedimiento de recorrer la lista de naturales,
y constantar que siempre hay otro que le sigue.
Cuando un telescopio "descubre" una nueva galaxia y la agrega al catálogo de las que ya se conocían, no es que "amplió" el conjunto de galaxias, sino que amplió el "catálogo de las galaxias conocidas por la NASA".
Recorrer los naturales uno en uno es un procedimiento ajeno a los naturales.
No te voy a decir si existían o no de antes, pero esa no es la manera de refutarlo.
No es correcto afirmar que sólo eso que has dicho es la única concepción posible de infinito.
Por otra parte, le estás agregando al infinito la idea de un "proceso paso a paso".
Y estás afirmando con antelación, antes de dar efectivamente cada uno de esos pasos,
que para todos esos pasos "siempre" es posible dar un paso más.
Eso sí que es una contradicción, ya que estás haciendo una afirmación de infinitos objetos al mismo tiempo, antes de que se generen paso a paso.
Una cosa es hablar de "lo infinito" como una idea amplia, un carácter aplicable a cualquier cosa, y otra cosa es usar la palabra "infinito" para cada situación particular que aparezca en matemática.
Es una palabra que tiene significados múltiples.
No es lo mismo un "conjunto infinito" que un "límite infinito" o que un "proceso infinito".
Es tramposo usar como sinónimos a diversos usos de la palabra infinito en contextos que no les corresponden.
Un "proceso infinito" es algo que corresponde a la descripción de un fenómeno físico,
o bien a un algoritmo informático (que no termina).
En matemática puede haber conjuntos infinitos "como un todo", sin necesidad de un proceso secuencial que lo defina.
Y por supuesto, un límite infinito es sólo un adjetivo que se le pone a una función no acotada.
Infinito es que no es finito, no tiene un límite, un punto final, una acotación, una definición precisa. Lo que se inventó es: "lo que no es finito en la tierra lo será en el cielo". sin embargo, tal invencion es un claro paralogismo.
Eso que decís que "lo que no es finito en la tierra lo será en el cielo"
es un invento tuyo.
Ningún libro de matemática afirma eso.
Ni siquiera está en la Biblia.
No es matemático ni teológico.
Además, todo lo que dijiste sobre ser infinito muestra claramente que estás mezclando un montón de conceptos distintos en una misma bolsa.
Dijiste que ser infinito es>
* Ser no finito. Esto matemáticamente sólo tiene sentido para cardinales de conjuntos, y atendiendo a definiciones como la de Dedekind, es sinónimo de ser un conjunto biyectivo con un subconjunto propio.
* Ser no acotado. El intervalo [0,1] de los números reales es acotado porque todos sus elementos son menores que un número dado (por ejemplo, \(\pi\) es una cota superior), pero no es finito, porque como conjunto tiene cardinal infinito. O sea que no es lo mismo decir que un conjunto es infinito que decir que un conjunto es no acotado.
* Que no tiene límite: Ese concepto no se aplica a conjuntos, sino a funciones. La función f(x) = cos(x) no tiene límite, pero es acotada, y la curva que la describe tiene cardinal infinito.
* Tener punto final: Eso se aplica a relaciones de orden. Una relación de orden puede tener punto final, y aún así referirse a un conjunto infinito. Un ejemplo sencillo es el conjunto de los enteros negativos: el punto final es -1, y aún así como conjunto es infinito. Otro ejemplo es lo que ya expuse antes: un segmento euclidiano AB con puntos extremos A, B.
Considero que el problema no es el infinito,
sino que te encaprichas en hacer una exposición demasiado vaga.
Es que no es cierto que Cantor haya dicho que el infinito no se puede ampliar más.
La lista que da es la de los números naturales, efectivamente, como un todo.
Agregarle algo más significaría que le estás queriendo agregar algún objeto a la lista que no es un número natural.
En ese sentido, no es ampliable.
Se contradiría con lo que es un número natural.
Pero eso le pasa a cualquier conjunto que uno tome en la vida.
Al ampliarlo, ya deja de ser el conjunto que era, y ya estamos hablando de un conjunto distinto.
Eso no es un problema ni de los naturales, ni de los conjuntos infinitos,
sino de lo que significa ser un conjunto.
Pero dado cualquier conjunto infinito, sí que se lo puede ampliar para que sea "otro" conjunto infinito, con elementos nuevos.
Bueno, estamos en lo mismo. considerar que el conjunto de todos los naturales tiene infinitos naturales, tomando la idea de infinito como si fuera un número que dota de un tamaño trascendental al conjunto. Obviamente, en tal caso, aquí ampliar significa poner elementos en el conjunto de naturales que no sean naturales e implica modificar el conjunto.
Bueno. No te acepto que digas que tú y yo estamos en lo mismo.
Nunca dije que los naturales tengan un tamaño.
Y además, no te definí el infinito como una idea, sino como un concepto,
que por las dudas, te lo vuelvo a repetir,
y de paso te invito a que me digas en qué se equivoca mi definición:
\[\exists x\in X:\, \exists f:(X\setminus \{x\})\to X:\, f(X\setminus\{x\}= X.\]
O bien lo formulo de esta otra forma más simple:
\[\exists Y\subset X:\, \exists f:Y\to X:\, [ Y\neq X \wedge f(Y) = X].\]
En esa definición no puse a Dios, ni la Biblia, ni la eterndidad (cosa que vos sí hiciste),
ni nada teológico, ni nada que empieza y termina, ni con recurrencia, ni acotado, ni no acotado, ni trascendente, ni mundano, ni que tenga tal o cual tamaño, ni que se amplía ni que no se amplía.
Es una expresión matemática que define qué cosa es un conjunto X infinito.
Es por sí o por no.
El conjunto X de los naturales cumple esa propiedad.
Se te ha metido en la cabeza que los matemáticos dicen que los naturales tienen un tamaño y un número, cuando ningún matemático cree eso.
Ya te expliqué que eso queda en la anécdota de un uso pretendidamente pedagógico.
Pero matemáticamente eso no existe.
Ahora bien, ¿es necesario que las matemáticas se estructuren sobre paralogismos y contradicciones? Quizás, hecho que me parece sorprendente.
Tus argumentaciones están llenas de paralogismos.
Me parece sorprendente que aún esté invirtiendo tiempo en responder todo esto
con la esperanza de alguna bala al menos te entre.
