Entiendo q para Cantor la demostración se debe a que podemos hacer una lista con todos los naturales y ello nos da un número diagonal, que podemos transformar en una serie de cifras que defina a un real. Y finalmente le suma +1 a cada una de esa cifra para decir:
Dado que hemos agotado todos los naturales, y tenemos un real que no está en la lista, se demuestra que los naturales son menos que los reales.
Si este no es el argumento que da Cantor y es otro que no he entendido, pues agradezco que se me explique. Pero si es este, me parece falaz. Nada más.
No sé quién me mandará meterme en camisa de once varas, pero voy a tratar de explicarte el argumento de Cantor.
Preliminares Llamamos \( S \) al conjunto de todas las sucesiones de números naturales entre \( 0 \) y \( 9 \). Por ejemplo, un elemento de \( S \) es la sucesión
\( c = (5, 3, 3, 7, 9, 9, 9, \ldots ) \)
entendiendo que a partir de ahí son todo nueves. En otros términos:
\( c(0) = 5,\quad c(1) = 3,\quad c(2) = 3, \quad c(3) = 7,\quad c(n) = 9 \) para \( n\geq 4 \).
Otro es la sucesión
\( c' = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4, \ldots) \)
entendiendo que hay que continuar con las siguientes cifras decimales de \( \pi \), etc.
Consideramos la aplicación \( R: S\longrightarrow [0,1] \) dada por
\( R(c) = \sum\limits_{n=0}^\infty c(n)10^{-(n+1)} \).
En otras palabras, \( R(c) \) es el número real cuyas cifras decimales son las de la sucesión \( c \). Por ejemplo, si \( c \) es el del primer ejemplo anterior, \( R(c) = 0.5337999\ldots = 0.533800\ldots \)
Para el segundo ejemplo \( R(c') = 0.3141592654\ldots = \pi/10 \).
Recíprocamente, podemos considerar la aplicación \( D: [0, 1]\longrightarrow S \) que a cada número real entre \( 0 \) y \( 1 \) le asigna la sucesión de sus cifras decimales, entendiendo que si un número \( \alpha \) admite dos desarrollos decimales que empiezan con \( 0.\ \ldots \), necesariamente uno de ellos acaba en infinitos ceros y el otro en infinitos nueves, y elegimos el primero, por fijar uno.
Por ejemplo, \( D(\pi/10) = (3, 1,4,1,5,9,2,\ldots) \), mientras que
\( D(0.5337999\ldots) = (5, 3, 3, 8, 0, 0, \ldots) \),
porque tenemos que cambiar la sucesión de nueves por la de ceros, por el criterio con el que hemos definido \( D \).
Ahora tenemos que fijarnos bien en los números reales que admiten dos desarrollos decimales distintos, como
\( 0.5338000\ldots \)
\( 0.5337999\ldots \)
Se puede probar en general que la situación es siempre la que ilustra este ejemplo. Las primeras cifras coinciden, luego hay una en la que la cifra de cada desarrollo difiere en una unidad, y las siguientes son todas 0 en un caso y todas 9 en el otro. No hay más posibilidades.
Esto tiene unas consecuencias cruciales:
Si \( c\in S \), entonces \( R(c)\in [0, 1] \), luego podemos calcular \( D(R(c))\in S \), y se pueden dar dos casos:
A) Si \( c\in S \) es una sucesión que no termina en ceros ni en nueves, entonces
\( D(R(c))(n) = c(n) \) para todo \( n \).
B) Si \( c\in S \) es una sucesión que termina en ceros o en nueves, entonces, para cada \( n \), se pueden dar tres subcasos:
- \( D(R(c))(n) = c(n) \).
- \( D(R(c))(n) \) y \( c(n) \) difieren en una unidad.
- \( D(R(c))(n) \) y \( c(n) \) son uno 0 y otro 9.
No hay más opciones. En todos los casos \( c(n) \) y \( D(R(c))(n) \) son iguales, se diferencian en una unidad, o bien son uno 0 y otro 9.
Por ejemplo, si \( c \) es la sucesión del primer ejemplo, tenemos que
\( D(R(c))(2) = D(0.5337999\ldots )(2) = D(0.5338000\ldots) = 3 = c(2) \). Son iguales.
\( D(R(c))(3) = D(0.5337999\ldots )(3) = D(0.5338000\ldots) = 8,\quad c(3) = 7 \). Se diferencian en una unidad.
\( D(R(c))(5) = D(0.5337999\ldots )(5) = D(0.5338000\ldots) = 0, \quad c(5) = 9 \). Son 0 y 9.
Con estos preliminares, ya podemos probar el teorema de Cantor:
Teorema No existe ninguna aplicación biyectiva \( f: \mathbb N\longrightarrow [0,1] \).
Demostración Por reducción al absurdo, suponemos que existe \( f: \mathbb N\longrightarrow [0,1] \) biyectiva.
Ahora fijamos un número natural \( n \), con lo que podemos considerar el número real \( f(n)\in [0, 1] \), que a su vez nos permite considerar la sucesión de dígitos \( D(f(n))\in S \) y, concretamente, podemos considerar el dígito \( n \)-simo, que es \( D(f(n))(n) \), un número entre 0 y 9.
Definimos como sigue un elemento \( d\in S \):
\( d(n) = \cases{D(f(n))(n)+2&si $D(f(n))(n)\leq 7$,\cr 6&si $D(f(n))(n) = 8, 9$.} \)
Esto es, en efecto, una sucesión de dígitos \( d\in S \), luego podemos considerar el número real \( R(d)\in [0, 1] \).
Ahora usamos el supuesto de que \( f \) es una aplicación suprayectiva. Esto implica que \( R(d) \) tiene una antiimagen, digamos \( m\in \mathbb N \). En otras palabras, existe un \( m\in \mathbb N \) tal que \( f(m) = R(d) \).
Distinguimos dos casos:
Si \( D(f(m))(m)\leq 7 \), entonces \( d(m) = D(f(m))(m)+2 = D(R(d))(m)+2 \), pero esto es imposible, porque hemos visto que \( d(m) \) y \( D(R(d))(m) \) no pueden diferenciarse en 2 unidades. O son iguales, o son 0 y 9, o se diferencian en una unidad.
Si \( D(f(m))(m)= 8,9 \), entonces \( d(m) = 6 \), mientras que \( D(R(d))(m) = D(f(m))(m) = 8, 9 \), con lo que tenemos la misma contradicción, ya que ahora \( d(m) \) y \( D(R(d))(m) \) se diferencian en 2 o 3 unidades, y eso es imposible.
Esto prueba que la aplicación biyectiva \( f \) no puede existir, como Cantor probó.
Quedo expectante de ver el punto de tangencia por el que decides salirte por la tangente para cuestionar este argumento.
