[Carlos Ivorra]

Por tanto, matizo mi opinión:

el método de diagonalización es perfectamente válido según los axiomas ZFC.

Debo reconocer que me has sorprendido muy positivamente. No pensé que fueras a aceptar esto tan rápidamente (y, en realidad, tampoco lentamente).

Reconozco que este punto se me hace muy difícil de entender y compartir: "mirar" la serie de naturales, en efecto, como un infinito actual, -un todo completo pero sin un elemento final-, con lo cual una variable, como "n", lo puede recorrer todo de forma omnisciente.

Si digo: definimos \( d: \mathbb N\longrightarrow \mathbb N \) mediante \( d(n) = n^2 \), ¿también ves ahí una variable \( n \) que recorre todo de forma omnisciente?

Porque la \( n \) de la que hablas (entiendo que es la que uso para definir la sucesión \( d \) en la demostración de Cantor) hace exactamente lo mismo que la \( n \) que acabo de usar para definir la función \( n^2 \). Para cada \( n \), definimos su imagen, da igual que sea como \( n^2 \) que como \( D(f(n))(n)+2 \) o \( 6 \) según el caso.

Por tanto, no estoy de acuerdo con estas asunciones. Ahora bien, entiendo que semejante discusión no se desprende de ningún axioma ZFC, pues estos ni exigen que se interprete como hace Cantor ni lo prohíben;

Aquí no te entiendo. Si dices que aceptas que en ZFC es válido el argumento de Cantor, y dices que éste contradice tu idea de infinito, entonces tienes que concluir que los axiomas de ZFC sí que se pronuncian sobre si el infinito debe interpretarse como tú lo interpretas o no. Y se pronuncian diciendo que no, porque si fuera que sí, no valdría la demostración que das por válida en ZFC.

entre otras cosas, porque tampoco definen qué significa que "un conjunto contenga un elemento". Es decir, q ante la noción "un conjunto contiene un elemento" no queda claro si es en sentido actual o potencial -Aquí los axiomas parecen dejar libertad para que cada cual piense lo que quiera.

Más bien esa distinción carece por completo de sentido en ZFC. O, si prefieres verlo así, el sentido es actual, simplemente porque una "pertenencia potencial" no tiene sentido alguno en ZFC.

Argentinator, por ejemplo, le parece clarísimo que un conjunto infinito, acaso el de los naturales, contiene en acto todos los elementos. Yo pienso que los contiene potencialmente. Axiomas en mano, de nuevo, parece que cada cual puede pensar lo que quiera (creo que fue Luís quien lo comentó -y ahora lo entiendo). Sin embargo, es destacable señalar cómo pensar una cosa u otra permite tomar unas demostraciones por buenas o no. Lo admito.

No. Si aceptas los axiomas de ZFC y la lógica pura, entonces tienes que aceptar la demostración de Cantor pienses como pienses. Y hay otro punto fundamental: cuestionar una demostración por florituras sobre si el infinito potencial tal o cual es salirse de la concepción moderna de las matemáticas que dejan perfectamente claro de forma inequívoca qué es un argumento válido y qué no lo es, mediante requisitos puramente formales, para pasar a que la validez de un argumento dependa de si te parece aceptable según el humor con el que te hayas levantado esa mañana. Precisamente toda la fundamentación de la matemática moderna ha tenido como finalidad evitar que dos matemáticos puedan discutir si una demostración vale o no vale en función de si piensan que esto es un infinito potencial o si aquello es una pertenencia actual. Un argumento matemático es válido si y sólo si puede formalizarse en ZFC. Ése es el único criterio que empleará cualquier revista a la que envíes un presunto teorema matemático para su publicación. (Entendiendo que puedes usar axiomas adicionales si lo indicas explícitamente y sin entrar en resultados relativos a otras teorías axiomáticas alternativas.)

[RDC]

Buenas noches, RDC. Voy a hacer algo que me da un poco de vergüenza, te voy a pasar un hilo mío de hace trece años, ni más ni menos. En él preguntaba sobre la Hipotésis del continuo (muy relacionada con esto) la cual no me entraba en la cabeza, entre otras cosas, porque no entendía bien lo que significaba “numerable” (y, en general, sabía todavía menos de matemáticas que ahora). Argentinator, en el hilo, estuvo pacientemente diciéndome cosas para que lo entendiera; yo simplemente quería entender por qué la pregunta que formula la hipótesis era pertinente, nada más. Y tuvieron que pasar años para entender sólo eso.

Cuando uno por fin entiende sólo un poco por encima lo de lo que va esto, parece que es fácil hacer entender lo mismo a los demás, porque no te das cuenta de la maduración que necesitan ciertos conceptos, te crees que los sabes de toda la vida.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=50729.0

Saludos.

Hola feriva, me lo he mirado por encima.

Una duda, en el post de entrada dices que el conjutno de Irracionales no está en biyección consigo mismo o lo he entendido mal?

[RDC]

Si digo: definimos \( d: \mathbb N\longrightarrow \mathbb N \) mediante \( d(n) = n^2 \), ¿también ves ahí una variable \( n \) que recorre todo de forma omnisciente?

Porque la \( n \) de la que hablas (entiendo que es la que uso para definir la sucesión \( d \) en la demostración de Cantor) hace exactamente lo mismo que la \( n \) que acabo de usar para definir la función \( n^2 \). Para cada \( n \), definimos su imagen, da igual que sea como \( n^2 \) que como \( D(f(n))(n)+2 \) o \( 6 \) según el caso.

Sí, es la misma $$n$$ de la demostración que has compartido.

Es una cuestión de razonamiento lo que me hace dudar.

No es lo mismo, a mi parecer, pensar la expresión "para cualquier $$n$$" presuponiendo que el conjunto de los naturales es una entidad completa, que se puede tratar como tal, y así lo hace Cantor en la diagonalización. A pensar esta expresión presuponeindo que el conjunto de los naturales es una iteración constante, dado que para cualquier $$n$$ siempre existe su sucesor, $$n+1$$.

Si tomamos el conjunto de los naturales como un todo completo entonce sla diagonalización de Cantor es correcta. Si tomamos el conjunto de naturales como una iteración perpetua entonces no, porque si bien para cada $$n$$ tendremos una lista finita de emparejamientos entre naturales y reales [0,1], de modo que el real creado por este $$n$$ no estará en tal lista finita, pero sí estará cuando la ampliemos para el sucesor de $$n$$. Y bajo tal presuposición, el sucesor de $$n$$ siempre existe.

Axiomáticamente, pero, ninguno de los axiomas nos fuerza a interpretarlo de una forma u otra. El axioma del infinito sólo nos dice que existen los conjuntos cuyos elementos se pueden emparejar biyectivamente con elementos de subconjuntos suyos, hecho que justifica el principio de inducción, según el cual se garantiza que para cada $$n$$ siempre existe su sucesor.

Creo que no dice nada más. con lo cual entiendo que los axiomas no exigen tomar estos conjuntos como entidades completas, pero tampoco lo prohiban que se haga. Es un vacío axiomático, como a veces también ocurre con las leyes, donde hay acciones alegales porque hay vacíos legales sobre ella. No sé si ahora me he explicado mejor.

Más bien esa distinción carece por completo de sentido en ZFC. O, si prefieres verlo así, el sentido es actual, simplemente porque una "pertenencia potencial" no tiene sentido alguno en ZFC.

Lo que acarece de sentido extricto en los axiomas es la noción de "contener" o "pertenecer". No está definido si los conjuntos contienen sus elementos en acto o potencialmente. Se deja al arbitrio intuitivo de cada uno. ¿no?

por eso admito que a nivel de axiomático la diagonalización es válida. Aunque a mi me choque porque intuitivamente lo interpreto de otro modo.

No. Si aceptas los axiomas de ZFC y la lógica pura, entonces tienes que aceptar la demostración de Cantor pienses como pienses. Y hay otro punto fundamental: cuestionar una demostración por florituras sobre si el infinito potencial tal o cual es salirse de la concepción moderna de las matemáticas que dejan perfectamente claro de forma inequívoca qué es un argumento válido y qué no lo es, mediante requisitos puramente formales, para pasar a que la validez de un argumento dependa de si te parece aceptable según el humor con el que te hayas levantado esa mañana. Precisamente toda la fundamentación de la matemática moderna ha tenido como finalidad evitar que dos matemáticos puedan discutir si una demostración vale o no vale en función de si piensan que esto es un infinito potencial o si aquello es una pertenencia actual. Un argumento matemático es válido si y sólo si puede formalizarse en ZFC. Ése es el único criterio que empleará cualquier revista a la que envíes un presunto teorema matemático para su publicación. (Entendiendo que puedes usar axiomas adicionales si lo indicas explícitamente y sin entrar en resultados relativos a otras teorías axiomáticas alternativas.)

Entiendo y acepto que si la axiomática no contradice la diagonalización, aunque intuitivamente me parezca equívoca, será siempre tomada por válida. 
 
Por otro lado está claro que los axiomas ZFC no són puramente formales. Son guardarralises con cierta flexibilidad sobre los que guiar nuestra intuición sobre qué es un conjunto, qué es que un conjunto contenga un elemento, etc.

un saludo

[Carlos Ivorra]

Es una cuestión de razonamiento lo que me hace dudar.

No es lo mismo, a mi parecer, pensar la expresión "para cualquier $$n$$" presuponiendo que el conjunto de los naturales es una entidad completa, que se puede tratar como tal, y así lo hace Cantor en la diagonalización. A pensar esta expresión presuponeindo que el conjunto de los naturales es una iteración constante, dado que para cualquier $$n$$ siempre existe su sucesor, $$n+1$$.

Sigo sin ver la diferencia que ves entre la \( n \) usada para definir \( d(n) = n^2 \) que la usada para definir la \( d(n) \) del teorema de Cantor.

Si tomamos el conjunto de los naturales como un todo completo entonce sla diagonalización de Cantor es correcta. Si tomamos el conjunto de naturales como una iteración perpetua entonces no, porque si bien para cada $$n$$ tendremos una lista finita de emparejamientos entre naturales y reales [0,1], de modo que el real creado por este $$n$$ no estará en tal lista finita, pero sí estará cuando la ampliemos para el sucesor de $$n$$. Y bajo tal presuposición, el sucesor de $$n$$ siempre existe.

Eso no tiene sentido. No hay un real creado por un \( n \). En la demostración que te he dado, el real que se obtiene por diagonalización es \( R(d) \), y ese número real se define a partir de la sucesión \( d \) que no está definida a partir de un \( n \), sino que \( d(n) \) se define a partir de toda la lista infinita. Si no tienes lista infinita, no tienes \( d \) ni \( R(d) \). No es que la demostración esté mal, sino que no tienes demostración.

Axiomáticamente, pero, ninguno de los axiomas nos fuerza a interpretarlo de una forma u otra. El axioma del infinito sólo nos dice que existen los conjuntos cuyos elementos se pueden emparejar biyectivamente con elementos de subconjuntos suyos, hecho que justifica el principio de inducción, según el cual se garantiza que para cada $$n$$ siempre existe su sucesor.

No. En eso estás muy desorientado. En ZFC SIN el axioma de infinitud puedes definir lo que es un número natural y lo que es la suma y el producto de números naturales con todas sus propiedades básicas. En particular, en ZFC SIN el axioma de infinitud puedes demostrar los teoremas siguientes:

• \( 0 \) es un número natural
• Si \( n \) es un número natural, \( n+1 \) también es un número natural.
• Si \( \forall x(0\in x\land \forall n(n \mbox{ es un número natural }\land n\in x\rightarrow n+1\in x)\rightarrow \forall n(n\mbox{ es un número natural}\rightarrow n\in x) \)

Todo esto se demuestra SIN el axioma de infinitud. Y si a ZFC le quitas el axioma de infinitud en el que estás pensando y lo sustituyes por este otro:

\( \exists x\forall n(n\in x\leftrightarrow n \mbox{ es un número natural}) \)

obtienes una teoría equivalente con exactamente los mismos teoremas. En otras palabras. El axioma de infinitud es equivalente a decir que existe un conjunto que contiene a todos los números naturales.

Creo que no dice nada más. con lo cual entiendo que los axiomas no exigen tomar estos conjuntos como entidades completas, pero tampoco lo prohiban que se haga. Es un vacío axiomático, como a veces también ocurre con las leyes, donde hay acciones alegales porque hay vacíos legales sobre ella.

Sigo pensando que te contradices:

1) Dices que si consideramos los conjuntos como potenciales, no vale el argumento diagonal de Cantor. Eso no te lo discuto, porque la hipótesis es vaga y puedes deducir de ella lo que quieras.

2) Dices que a partir de los axiomas de ZFC sí que se demuestra el teorema de Cantor.

Luego estás obligado a admitir, por pura lógica, que

3) Los axiomas de ZFC requieren entender los conjuntos como entidades completas.

Lo que acarece de sentido extricto en los axiomas es la noción de "contener" o "pertenecer". No está definido si los conjuntos contienen sus elementos en acto o potencialmente. Se deja al arbitrio intuitivo de cada uno. ¿no?

Me remito al silogismo que te acabo de formular. Si aceptas 1) y 2), tienes que concluir que los axiomas de ZFC implican que la pertenencia es actual y no potencial. Pero quiero dejar claro que si alguien me pregunta qué significa eso le diré que te lo pregunte a ti, porque yo no sé lo que estoy diciendo. Yo sólo sé que si existe una diferencia entre pertenencia potencial y actual (la que tú digas que hay, a mí que no me pregunten) y cumple 1) y 2), que son cosas que has admitido, entonces, sea lo que sea eso, se cumple 3.

Entiendo y acepto que si la axiomática no contradice la diagonalización, aunque intuitivamente me parezca equívoca, será siempre tomada por válida. 

No es que la axiomática no contradiga la diagonalización, sino que la axiomática demuestra, implica, la diagonalización. No es que se acepte porque los axiomas no la contradigan, sino que se acepta porque se demuestra, porque es una consecuencia lógica de los axiomas.

Por otro lado está claro que los axiomas ZFC no són puramente formales.

Los axiomas de ZFC son puramente formales. No dicen nada sobre su posible significado.

Son guardarralises con cierta flexibilidad sobre los que guiar nuestra intuición sobre qué es un conjunto, qué es que un conjunto contenga un elemento, etc.

Aquí, al contrario de todo lo que he dicho hasta este momento, hago una afirmación subjetiva, en el sentido de que otros matemáticos pueden tener un punto de vista distinto del mío: No creo que exista ninguna intuición sobre qué es un conjunto, o qué es que un conjunto contenga un elemento, que abarque los conceptos de conjunto y pertenencia que describen los axiomas de ZFC. Ciertamente existen los conceptos intuitivos de "conjunto" y "pertenencia", pero son mucho más limitados que el universo conjuntista que describe ZFC.

No puedo entender ZFC como una precisión de nuestra intuición sobre lo que es un conjunto porque los conjuntos más abstractos de ZFC distan mucho de tener ninguna clase de contenido intuitivo.

Por otro lado, los axiomas de ZFC tienen cierta "flexibilidad", en efecto, pero no en el sentido que pareces estar pensando. Los axiomas de ZFC dejan muchas afirmaciones sin decidir, como la hipótesis del continuo, o si el producto de espacios topológicos con la condición de cadena numerable tiene la condición de cadena numerable, por poner un par de ejemplos, pero dejan un margen de elección muy distante de las cosas en las que estás pensando.

[manooooh]

Hola Carlos

Aquí, al contrario de todo lo que he dicho hasta este momento, hago una afirmación subjetiva, en el sentido de que otros matemáticos pueden tener un punto de vista distinto del mío: No creo que exista ninguna intuición sobre qué es un conjunto, o qué es que un conjunto contenga un elemento, que abarque los conceptos de conjunto y pertenencia que describen los axiomas de ZFC. Ciertamente existen los conceptos intuitivos de "conjunto" y "pertenencia", pero son mucho más limitados que el universo conjuntista que describe ZFC.

No puedo entender ZFC como una precisión de nuestra intuición sobre lo que es un conjunto porque los conjuntos más abstractos de ZFC distan mucho de tener ninguna clase de contenido intuitivo.

Me interesa esto. En ZFC, ¿cuál es la definición de conjunto? Esa que es más abstracta que lo que uno podría imaginarse de lo que representa un conjunto.

Quizás si pones la definición formal y luego lo defines con palabras, podamos hacer una representación de lo que es, para poder entenderla gráficamente. Es decir, si la definición con palabras es "Una cosa que agrupa objetos y tiene dos manijas" eso puede llegar a aproximarse a una bolsa de supermercado, por decir algo.

Saludos

[Carlos Ivorra]

Me interesa esto. En ZFC, ¿cuál es la definición de conjunto? Esa que es más abstracta que lo que uno podría imaginarse de lo que representa un conjunto.

Ninguna. ZFC está determinado por unos axiomas que hablan de conjuntos, pero no los definen. Son axiomas que dicen:

Dos conjuntos con los mismos elementos son iguales.
Dados dos conjuntos, existe otro que los tiene por elementos.

Y más cosas así, pero sin decir nunca qué es un conjunto o qué es ser elemento de un conjunto.

Y a partir de esos axiomas se puede demostrar la existencia de muchos conjuntos. Algunos tienen una interpretación intuitiva directa, como el conjunto de los números naturales, o el conjunto de los números racionales, etc. Pero en ZFC también se pueden definir conjuntos mucho más abstractos, como los cinco trocitos en los que se puede dividir una esfera de radio 1 para que, debidamente recombinados, formen dos esferas de radio 1. Esos conjuntos no tienen ninguna interpretación intuitiva.

Quizás si pones la definición formal y luego lo defines con palabras, podamos hacer una representación de lo que es, para poder entenderla gráficamente.

No hay definición alguna. Los axiomas de ZFC dicen las propiedades que cumplen los conjuntos, no definen lo que es un conjunto.

[argentinator]

Cantor supone que el conjunto de los naturales, al contener, éste, todo número natural, se puede pensar como un todo, como algo completo, aunque no tenga ningún elemento final. De modo que podemos atribuir a la variable "n" el ser cualquier número natural. Esto en mente de Cantor significa lo que dices, Carlos, que la variable "n" recorre todos los naturales.

Para Cantor, cualquier conjunto que uno tome es un "todo a un solo tiempo".

Eso no quiere decir que Cantor sea capaz de "ver" todos los elementos de un conjunto de una sola vez.
Inclusive, un conjunto finito como el de los números primos menores que 1000,
es un conjunto pequeño, bien delimitado, y ni Cantor ni tú ni nadie es capaz de "verlo en acto".

Acá no se trata de ver un conjunto, sino que la noción de conjunto alude a algo que está definido en términos de una propiedad que caracteriza qué objetos son sus elementos y qué objetos no lo son.

Una tal "propiedad" sí que se establece "en acto".
Por ejemplo, en un solo "acto" elijo la propiedad de "ser un número par",
o de "ser un número primo", y entonces queda definido "en el acto"
el conjunto P de los números enteros pares, o el conjunto de los enteros primos.

Para eso no hace falta ver todos los elementos de una sola vez.

Y tampoco hace falta recorrer los elementos uno a uno.

Reconozco que este punto se me hace muy difícil de entender y compartir: "mirar" la serie de naturales, en efecto, como un infinito actual, -un todo completo pero sin un elemento final-, con lo cual una variable, como "n", lo puede recorrer todo de forma omnisciente. Se me hace bola por mis prejuicios. Lo reconozco.

Es que el problema no es la omniscencia de quien "ve" todos los naturales en un solo acto.
De hecho, no hay ningún ser natural ni sobrenatural que sea capaz de ver semejante cosa.

Lo que te hace pelear con la omniscencia es tu propio capricho de querer "ver" todos los elementos de un conjunto en un solo acto.

Pero para hacer matemática no hace falta "ver en acto" los elementos de un conjunto.
Lo que se hace es llevar a cabo inferencias a partir de las propiedades que definen dichos conjuntos por comprensión.

Si digo que el conjunto P de números pares contiene a todos los múltiplos de 4,
no necesito recorrer uno a uno los múltiplos de 4 para constantarlos,
ni tampoco necesito "verlos" a todos juntos.
Basta con hacer un razonamiento que conlleva una cantidad finita de pasos que deduce de una propiedad, la otra:

Si x es múltiplo de 4,
entonces x = 4m, para algún entero m,
luego x = 2 . 2m, para algún entero m,
luego x = 2y, para algún entero y,
por lo tanto x es par.

No tuve que recorrer infinitos elementos para hacer esa deducción.
Sino que recorrí 5 líneas de inferencia.

Y en ningún momento tuve que pedirle ayuda a ser omnisciente alguno para que visualice todos los números pares a ver si mi conclusión es correcta,
que para eso se inventó la Lógica.

Por tanto, no estoy de acuerdo con estas asunciones. Ahora bien, entiendo que semejante discusión no se desprende de ningún axioma ZFC, pues estos ni exigen que se interprete como hace Cantor ni lo prohíben; entre otras cosas, porque tampoco definen qué significa que "un conjunto contenga un elemento". Es decir, q ante la noción "un conjunto contiene un elemento" no queda claro si es en sentido actual o potencial -Aquí los axiomas parecen dejar libertad para que cada cual piense lo que quiera.

Es cierto que los Axiomas no especifican nada,
no obstante no dejan libertad para interpretar cualquier cosa.
Como ya te ha dicho Carlos, la pertenencia potencial no sería una interpretación válida de los Axiomas.

Argentinator, por ejemplo, le parece clarísimo que un conjunto infinito, acaso el de los naturales, contiene en acto todos los elementos.

No recuerdo haber dicho eso.
Aún así no veo cuál sea el problema.

Una cosa es lo que le pasa un conjunto,
y otra cosa es lo que le pasa a tu mente cuando quiere entender el conjunto.

Los problemas que te surjen al querer "ver" y "recorrer" los elementos de un conjunto
son problemas del alcance de la imaginación,
o de la interpretación que pretendes darle a los enunciados matemáticos.

Tampoco es cierto que creer lo que dices que crees.
Tu religión se autocontradice.

Yo pienso que los contiene potencialmente.

Eso de "contener potencialmente" es algo que no tiene ningún sentido.
Es una frase suelta que no significa nada.

Más o menos se entiende a lo que apuntas.

Pero ya te he indicado que una cosa son los elementos de un conjunto,
y otra cosa distinta es recorrerlos.

Los puntos de un segmento de recta se ven todos "en acto", incluso visualmente,
de un solo golpe de vista,
y es un conjunto matemáticamente tratable desde la época de Euclides,
incluso antes que Cantor, Poincaré y otros.
Aún así, no eres capaz de recorrerlos "uno a uno".
Y sin embargo, el conjunto sigue estando ahí, lo estás viendo, y es infinito.

Ese "infinito" no es potencial (aún a costa de que nadie sabe qué significa esa potencialidad),
sino que está ahí bien sólido, "en acto".
Que no te quede cómodo "recorrerlo", es otro problema aparte.

 Axiomas en mano, de nuevo, parece que cada cual puede pensar lo que quiera (creo que fue Luís quien lo comentó -y ahora lo entiendo). Sin embargo, es destacable señalar cómo pensar una cosa u otra permite tomar unas demostraciones por buenas o no. Lo admito.

Estás admitiendo algo erróneo.

Que te imagines los conjuntos infinitos de un modo u otro no influye en nada en los teoremas que se pueden demostrar matema'ticamente.

Sin embargo, sí que es cierto que lo que descarta unos teoremas u otros
es el hecho de que aceptes o no ciertos métodos de demostración o no.

Y en eso radica todo lo que estás discutiendo.

Tu manera de "mirar" el conjunto de naturales no tiene nada que ver con la naturaleza de dichos números.

Es lo mismo que decir que Picasso pintó un cuadro, y las figuras del cuadro cambian
dependiendo del turista que justo ese día pagó una entrada para curiosear en el museo.
El cuadro estaba pintado antes de que "lo mires".

Y lo único que cambia, según lo miras, son las limitaciones que tiene tu forma de mirar la obra.

Con los axiomas de ZFC no hace falta "mirar" ningún conjunto,
sino que basta "calcular sus propiedades".

[feriva]

Buenas noches, RDC. Voy a hacer algo que me da un poco de vergüenza, te voy a pasar un hilo mío de hace trece años, ni más ni menos. En él preguntaba sobre la Hipotésis del continuo (muy relacionada con esto) la cual no me entraba en la cabeza, entre otras cosas, porque no entendía bien lo que significaba “numerable” (y, en general, sabía todavía menos de matemáticas que ahora). Argentinator, en el hilo, estuvo pacientemente diciéndome cosas para que lo entendiera; yo simplemente quería entender por qué la pregunta que formula la hipótesis era pertinente, nada más. Y tuvieron que pasar años para entender sólo eso.

Cuando uno por fin entiende sólo un poco por encima lo de lo que va esto, parece que es fácil hacer entender lo mismo a los demás, porque no te das cuenta de la maduración que necesitan ciertos conceptos, te crees que los sabes de toda la vida.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=50729.0

Saludos.

Hola feriva, me lo he mirado por encima.

Una duda, en el post de entrada dices que el conjutno de Irracionales no está en biyección consigo mismo o lo he entendido mal?

Hola, RDC.

No, lo que quería decir en ese entonces (que está mal dicho) es que como el conjunto de los reales es la unión de los racionales y los irracionales, al biyectar los reales con los irracionales, los racionales se quedaban sin pareja. Pero eso no es así, los reales y los irracionales si se pueden biyectar, porque la cuestión no funciona como la veía yo.

Hoy en día lo veo así (seguro que todavía hay cosas en las que estoy equivocado).

Primero hago unas definiciones.

1º Números salteados

Tómese un número real \( r \) cualquiera escito en base diez y con su mantisa. Cámbiesele alguna cifra por otra distinta de forma que así obtengamos otro número real \( r'\neq r \).

*(aquí se entiende que la cifra ha de estar, digamos, a una distancia finita respecto de la primera cifra; pues si estuviera en el infinito no sabríamos si la cambiamos por otra o por la que ya estaba, porque no la “vemos”, no llegamos a verla ni con la imaginación; y todos los matemáticos estarán de acuerdo en esto, los “actuales” y los “potenciales”).

Entonces diremos que \( r \) y \( r' \) son números salteados.

2º Conjunto de números salteados.

Un conjunto salteado es un subconjunto de \( \mathbb{R} \) tal que todos sus elementos son números salteados dos a dos; esto es, si se toman dos cualesquiera, son salteados entre sí (podemos verificar, o definimos, que tienen al menos una cifra distinta).

La unión de estos subconjuntos forman también un conjunto de números salteados.

3º Subconjuntos del continuo.

Un subconjunto del continuo es al que pertenecen como elementos todos los números reales asociados a los puntos de un segmento de la recta real. Todos; el segmento puede ser tan corto como se quiera, pero todos.

La unión de subconjuntos del continuo es un subconjunto del continuo.

Subconjuntos mixtos.

Son las uniones de ambos tipos de conjuntos.

Algunas propiedades.

Todos los subconjuntos salteados son numerables.

*no se puede decir al revés porque hay conjuntos de cosas que no son números reales, pero si nos centramos sólo en los reales, “conjunto infinito de números salteados” y “conjunto infinito numerable” viene a ser equivalente (no sé si del todo, pero bueno).

Ningún subconjunto del continuo es numerable.

Ningún conjunto mixto es numerable.

...

Así, si tomamos el conjunto de los primos, no hace falta mirar los del “más allá” para saber que todos tienen que tener por lo menos una cifra distinta. Del mismo modo pasa con los primos elevados a las potencias naturales1,2,3,4... o con el conjunto de las raíces cuadradas de los primos, que son irracionales. Si hacemos la unión de todos estos conjuntos citados, tenemos un conjunto numerable, porque es unión de conjuntos de números salteados.

Pero si a eso le unimos todos los números de este intervalo, por ejemplo, \( \{0,\,10^{-1000000}\} \) ya no es numerable al ser mixto.

Cantor, al tomar números de [0,1) está tomando números que pertenecen a un subconjunto del continuo, no a cualquier subconjunto de los reales.

Surge así la idea de un infinito más grande, que sirve, por ejemplo, para ser biyectado con los números de la recta real o sus segmentos.

Ahora, en un conjunto de números salteados éstos pueden estar tan juntos como se quiera, dependerá de lo “lejos” que esté esa cifra que los distingue; la cual o bien está en una posición finita respecto de la primera o bien no lo está; o eso podemos definir si queremos (unos lo verán más claro y otros lo veremos menos). Luego, con arreglo a esa afirmación, todos los conjuntos de números reales o bien serán biyectables con los salteados o bien con los continuos.


Saludos.

[RDC]

No tengo mucho tiempo. Comentaré sólo lo que tengo dudas (feriva y Argentinator ya os contesto en otro momento)

Eso no tiene sentido. No hay un real creado por un \( n \). En la demostración que te he dado, el real que se obtiene por diagonalización es \( R(d) \), y ese número real se define a partir de la sucesión \( d \) que no está definida a partir de un \( n \), sino que \( d(n) \) se define a partir de toda la lista infinita. Si no tienes lista infinita, no tienes \( d \) ni \( R(d) \). No es que la demostración esté mal, sino que no tienes demostración.

Sí, me he explicado mal. Ya entraré en eso más abajo.

No. En eso estás muy desorientado. En ZFC SIN el axioma de infinitud puedes definir lo que es un número natural y lo que es la suma y el producto de números naturales con todas sus propiedades básicas. En particular, en ZFC SIN el axioma de infinitud puedes demostrar los teoremas siguientes:

• \( 0 \) es un número natural
• Si \( n \) es un número natural, \( n+1 \) también es un número natural.
• Si \( \forall x(0\in x\land \forall n(n \mbox{ es un número natural }\land n\in x\rightarrow n+1\in x)\rightarrow \forall n(n\mbox{ es un número natural}\rightarrow n\in x) \)

Todo esto se demuestra SIN el axioma de infinitud. Y si a ZFC le quitas el axioma de infinitud en el que estás pensando y lo sustituyes por este otro:

\( \exists x\forall n(n\in x\leftrightarrow n \mbox{ es un número natural}) \)

obtienes una teoría equivalente con exactamente los mismos teoremas. En otras palabras. El axioma de infinitud es equivalente a decir que existe un conjunto que contiene a todos los números naturales.

Los axiomas ZFC sirven para definir qué es un número natural? Me pensaba que los números naturales se definían por otros axiomas y que a través de ZFC se definían relaciones entre conjuntos y sus elementos. 

En todo caso, entiendo que el axioma del infinito establece que existe un conjunto como el de los naturales, no que existan o no existan números naturales.

Sigo pensando que te contradices:

1) Dices que si consideramos los conjuntos como potenciales, no vale el argumento diagonal de Cantor. Eso no te lo discuto, porque la hipótesis es vaga y puedes deducir de ella lo que quieras.

Este punto me parece interesante, por hacer referencia a la base de como razono y por eso me choca la cuestión. A ver, si puedo explicarme bien:

si bien es cierto que cuando decimos $$n$$ como elemento del conjunto esta variable representa a todos los elementos de un conjunto, acaso a todos los naturales del conjunto $$A_n=\left\{{1,2,3,4,...,n}\right\}$$. Y si bien es cierto que $$n$$ puede ser tan grande como queramos no significa que $$n$$ tenga por valor un infinito, siempre será un natural. Por tanto, con $$n$$, entiendo que sólo definimos todos los naturales de subconjutnos finitos de los naturales. Que obviamente son infinitos.

Si un conjunto infinito como el natural lo considero como potencial, significa  que, un conjunto como el de los naturales, al definir $$n$$ no estamos definiendo al conjunto completo, porque al hacerlo, por el axioma del inifinto, también estamos definiendo a su sucesor, que es mayor que $$n$$, y lo podemos llamar $$m$$. Es decir, en un conjunto infinito entiendo que al apelar a $$n$$ ello implica que siempre existe $$m$$ (su sucesor), hecho que impide concebir teóricamente el conjunto como un todo completo a partir, simplemente, de $$n$$. 

En la demostración de Cantor que compartiste no se tiene en cuenta, precisamente que $$n$$ implica, necesariamente, que exista $$m$$ para un conjunto como el de los naturales debido al axioma del infinito. En este sentido, pienso que la demostración de Cantor es buena para conjuntos finitos, donde, en efecto, definiendo $$n$$ defines todos sus elementos. Pero la definición de conjunto infinito, por el axioma del infinito, me parece que es: dado un $$n$$ siempre existe un $$m$$ llamado sucesor.

También entiendo, pero, que esto parece introducir una cierta ambigüedad. Si para conjuntos infinitos $$n$$ implica, siempre, la existencia de $$m$$ como sucesor, cuando decimos que $$d(n)=n^2$$ ¿qué ocurre?

Pero en realidad no ocurre nada, no hay tal ambigüedad porque $$n^2\longrightarrow{\exists{m^2}}$$, siendo $$m^2$$ el sucesor de $$n^2$$, mostrando así, precisamente, que no hay un número natural cuadrado último y definitivo; que es lo que exige el axioma del infinito. 

2) Dices que a partir de los axiomas de ZFC sí que se demuestra el teorema de Cantor.

Luego estás obligado a admitir, por pura lógica, que

3) Los axiomas de ZFC requieren entender los conjuntos como entidades completas.

No te digo que no, pero si me pudieras explicar porqué los axiomas demuestran o exigen, sí o sí, ver los conjuntos inifnitos como completos te lo agradecería. Ya ves que no lo entiendo así, sino más bien al contrario.

[sugata]

Si para conjuntos infinitos n implica, siempre, la existencia de m como sucesor

Esto sólo puede ocurrir en infinitos ordenados como los naturales.
En conjuntos no ordenados no sirve.
En los reales, ¿cuál es el sucesor de 1?