1)\( F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E}) \)
Sea \( x\in E\cup{F} \). Por definición de unión de conjuntos \( x\in{E} \) ó \( x\in{F} \). Si \( x\in{E} \), entonces \( x\in{E} \) y por definición de inclusión de conjuntos \( E\subset{E} \). Si \( x\in{F} \), por hipótesis \( F\subset{E} \). Luego \( {E\cup{F}\subset{E} \).
Está casi bien, pero me marean algunos de tus pasos.
Creo que la dificultad del ejercicio está en que es... demasiado fácil!!
Entonces cuesta expresarlo sin enredarse.
El comienzo es correcto: "Sea \( x\in E\cup F \)".
Eso es importante, haber empezado bien.
Lo que me parece que hiciste mal fue concluir resultados parciales intermedios como \( E\subset E \) o \( F\subset E \).
Esos resultados son ciertos, pero no te llevan a la conclusión que estás buscando.
Reescribo tu prueba así:
Sea \( x\in E\cup{F} \).
Por definición de unión de conjuntos \( x\in{E} \) ó \( x\in{F} \).
Si \( x\in{E} \), entonces \( x\in{E} \) (
punto aparte)[/tex].
Si \( x\in{F} \),
como por hipótesis \( F\subset{E} \),
resulta \( x\in E \).
Luego, en cualquier caso se obtuve que \( x\in E \).
Luego \( {E\cup{F}\subset{E} \).
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Tu prueba de (2) es correcta, pero fijate el hecho interesante de que no parece que sea necesario usar la hipótesis \( F\subset E \) en ningún momento.
Es irrelevante, o superfluo.
Es importante aprender a reconocer cuáles de todas nuestras hipótesis fueron realmente necesarias en una demostración.
Y si una hipótesis no fue usada, preguntarse si nos faltó algo en la prueba,
o si realmente esa hipótesis era superflua.____________
Consejos como el anterior que te dí son más importantes que lo que me preguntaste de las funciones proposicionales.
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Tu prueba de (ii) tiene unos enredos en el medio que no me gustan.
Creo que tenés que limitarte a usar la hipótesis \( E\cup F =E \) en el momento que sea oportuno, y listo.
No hay que darle tantas vueltas a las cosas.
Te la recorto un poco:
Sea \( x\in{F} \), entonces \( x\in{F} \) ó \( x\in{E} \) y por la unión de conjuntos \( x\in{F\cup{E}} \). (.... saco todo lo que pusiste acá ...)
Por hipótesis \( E\cup{F}=E \) y
entonces \( x\in E \).
Por lo tanto \( F\subset E \).
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Con funciones proposicionales, tendrías algo así para la parte (1) de (i):
\( p(x)\equiv [x\in{F}\Rightarrow{x\in{E}}] \), \( q(x)\equiv [x\in{}E \vee{x\in{}F}] \); \( r(x)\equiv [x\in{E}] \).
Te queda lo siguiente:
\( \big(\forall x:p(x)\big)\Rightarrow \big(\forall x:q(x)\Rightarrow r(x)\big)\wedge\big(\forall x:r(x)\Rightarrow q(x)\big) \).
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¿Hay algún número mínimo de funciones a tomar?
Vos podés usar funciones proposicionales tan pequeñas o tan extensas como quieras, y en la cantidad que quieras.
Lo importante es que estén correctamente formadas.
Con esto me refiero a que "efectivamente" una función proposicional como p(x) depende "efectivamente" de x.
Algo como \( \forall x:(x\in E) \) no es una función proposicional, porque el cuantificador \( \forall x \) afecta a la variable x, y se refiere a "todos los valores posibles de x a la vez", con lo cual, ya no es cierto que para cada x "eso" sea una proposición específica.
En cambio \( x\in E \) sí es función proposicional con la variable x, debido a que es posible sustituir la variable x con diversas "constantes" (o valores), y en cada caso se obtiene una proposición concreta distinta.
