Sigo con Munkres.
c) \( (A\subset{B})\wedge(A\subset{C})\Longleftrightarrow{A\subset{(B\cap{C})}} \)
i) \( (A\subset{B})\wedge(A\subset{C})\Rightarrow{A\subset{(B\cap{C})}} \);
ii) \( {A\subset{(B\cap{C})} \Rightarrow(A\subset{B})\wedge(A\subset{C})} \)
i) \( (A\subset{B})\wedge(A\subset{C})\Rightarrow{A\subset{(B\cap{C})}} \)
Sea \( x\in{A} \), por hipótesis \( x\in{A}\Rightarrow{x\in{B}} \) y \( x\in{A}\Rightarrow{x\in{C}} \), entonces \( x\in{B} \) y \( x\in{C} \), por definición de intersección de conjuntos esto es \( x\in{B\cap{C}} \). Se concluye \( A\subset({B\cap{C}}) \).
ii) \( {A\subset{(B\cap{C})} \Rightarrow(A\subset{B})\wedge(A\subset{C})} \)
Sea \( A\subset{(B\cap{C})} \), se tiene que \( (B\cap{C})\subset B \) y \( (B\cap{C})\subset C \). Por la propiedad de transitiva para la inclusión de conjuntos, \( (A\subset{B}) \) y \( (A\subset{{C}}) \).
Estas demostaciones son correctas y están bien escritas.
Pero para no dormirnos en los laureles te hago algunos comentarios:
En la parte (i) estás usando la hipótesis, es cierto, pero no la nombraste.
La hipótesis es \( A\subset B\wedge A\subset C \).
Luego pasaste directamente a la definición de inclusión, y escribiste \( x\in A\Rightarrow x\in B \), por ejemplo, lo cual está bien.
Pero ya que estás practicando el lenguaje matemático, te recomiendo ensayar otras formas de escribir tu prueba, porque aunque se ve correcta, se olfatea que en tu mente estás atando algunos cabos un poco a la fuerza.
Creo que esto tiene que ver con la manera en que estás trabajando la conjunción "y" en el razonamiento de todo el inciso (i).
Fijate esta forma de pensarlo:
Demostrar que: \( (A\subset{B})\wedge(A\subset{C})\Rightarrow{A\subset{(B\cap{C})}} \)
Hipótesis: \( (A\subset{B})\wedge(A\subset{C}) \).
Aquí se puede aplicar la
regla de simplificación (de la conjunción lógica) dada por: Si \( (p\wedge q) \) entonces \( p \).
Así que escribimos dos conclusiones a partir de la hipótesis:
(1) \( A\subset B \)
(2) \( A\subset C \)
Sea \( x\in{A} \),
por definición de inclusión, \( x\in{A}\Rightarrow{x\in{B}} \).
Entonces, por (1), \( x\in B \).
De modo análogo, por (2), vale que \( x\in C \).
Entonces \( x\in{B} \) y \( x\in{C} \).
Entonces, por definición de intersección de conjuntos esto es \( x\in{B\cap{C}} \).
Se concluye \( A\subset({B\cap{C}}) \).
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¿Cuáles son las pequeñas diferencias entre mi forma de escribir y la tuya?
Sospecho que te falta pulir un poquito más la diferencia entre "implicación" y "deducción".
Las deducciones son encadenamientos de afirmaciones
sólidas a través de "implicaciones".
Pero las "implicaciones" por sí solas son sólo "razonamientos sueltos".
Así, no es lo mismo escribir \( x\in A\Rightarrow x\in B \) (que es tan sólo una definición de inclusión de conjuntos, que no demuestra nada), que escribir lo siguiente:
Demostramos o suponemos que \( x\in A \).
Demostramos o suponemos que \( x\in A\Rightarrow x\in B \).
Entonces podemos deducir por
modus ponens que \( x\in B \) es
verdadero.
Te recuerdo el esquema de razonamientos "Si... entonces...":
Si p entonces q, quiere decir esto:
\( p \)
\( p\Rightarrow q \)
_____
q
Apoyarse en
verdades sólidas es el modo de demostrar correctamente algo,
y usar las implicaciones (o sea, operaciones de la forma \( p\Rightarrow q \)) sólo como pasos intermedios que van hilvanando el razonamiento.