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Sección 4. Números Reales

(Post con archivos adjuntos de subsecciones posteriores)

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Nota: Este thread forma parte del tema

Construcción de los Sistemas Numéricos

Construcción de los Sistemas Numéricos.

Sección 4. Números Reales.

La estrella principal de toda esta saga de sistemas numéricos es, sin duda,
el de los números reales.
Constituyen ellos el lenguaje fundamental de la matemática moderna,
sobretodo si pensamos en la matemática como herramienta aplicada a otras ciencias.

A lo largo de todo el thread se dan definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones,
cuyos detalles se colocan la mayoría de las veces dentro de los "spoilers" (o desplegables).
Esto permite navegar a través del esqueleto general de la teoría,
dejando los detalles intrincados para cuando a uno se le dé la gana mirarlos.

Aún así, sugiero a los lectores que vayan abriendo los desplegables,
al menos para curiosear en los varios dibujillos que tanto trabajo  me ha costado confeccionar  ,
con la esperanza de que ciertas ideas "entren"  mejor en las distintas cabezas. 

• Recomendación: Abrir sólo unos pocos spoilers a la vez. Si se abren muchos o todos, no se podrá visualizar el post en forma completa  debido a que es muy extenso.    

En los dos desplegables que siguen haremos divagaciones introductorias acerca de
la necesidad de construir el sistema de los números reales,
y daremos una idea de más o menos "hacia dónde" se apuntan los dardos,
primero desde un punto de vista geométrico,
y luego desde un punto de vista algebraico.


Subsección 4.1.
Motivaciones geométricas de la noción de número real.

Los números racionales sirvieron a muchos propósitos de medición de terrenos en la antigüedad, permitiendo considerar pequeñas subunidades de una unidad de medida principal, dando de este modo una medición exacta de cierta longitud o área.
Pero los griegos advirtieron, en la escuela de Pitágoras, que había ciertas magnitudes geométricas que no podían expresarse siempre como una razón o proporción entre dos números enteros. El ejemplo típico de esta anómala situación se produce en figuras geométricas tan sencillas como el cuadrado.

Imaginemos un cuadrado de lado igual a 1 unidad (un metro, digamos). ¿Cuánto mide su diagonal?
Si tenemos un cuadrado \( ABCD \), el segmento \( AC \) es una diagonal, y obtenemos también que \( ABC \) es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden \( 1 \), y su hipotenusa es la diagonal \( AC \) del cuadrado.
Por Teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Esto implica que \( 1^2+1^2=h^2 \), donde \( h \) denota la longitud de \( AC \).
O sea, se debe cumplir la igualdad \( 2=h^2 \).

¿Es posible expresar \( h \) como un cociente de números enteros?
Existe una clásica y sencilla prueba (algebraica) de que esto no es posible, pero no la incluiremos en este lugar (quizá sí en otro post más adelante).

Este hecho causó mucha intriga en los pitagóricos, y mantuvieron esta verdad en secreto, porque ponía en tela de juicio su dogma espiritual de que "todo es número".
Para ellos "número" significaba lo que para nosotros en el siglo 21 es "número natural". O sea, la realidad podría explicarse usando sólo "números naturales".
Pero la diagonal del cuadrado contradecía esto directamente.
Más aún, se percataron de que era posible "aproximar" la medida de la diagonal por razones (hoy diríamos: números racionales) tales que su numerador y denominador se hacen cada vez más grandes a medida que la aproximación mejora.
Los griegos no lograron medir la diagonal del cuadrado, a pesar de que lo que estaban haciendo... estaba bien encaminado. Su problema era la negativa a cambiar de paradigma.

Si ponemos el cuadrado con lado 1 en el origen, pegado al eje de abscisas, trazamos la diagonal, y luego con un compás trasladamos la medida de la diagonal hasta el eje de abscisas, vemos que le corresponde un punto concreto.
O sea, geométricamente, la diagonal de un cuadrado es una magnitud que puede trabajarse como cualquier otro segmento, pudiendo decir si es mayor o menor a otros segmentos, aplicarles proporcionalidad, y un largo etcétera.
Cuando ponemos todas estas magnitudes juntas en una línea recta obtenemos un sistema algebraico totalmente ordenado, que contiene estrictamente a los puntos que corresponden a números racionales (razones de enteros).
Se puede ver en la recta que los racionales 1.4, 1.41, 1.414, etc, se van aproximando cada vez más al punto que "mide" la magnitud de la diagonal del cuadrado de lado 1, pero nunca se obtiene exactamente dicho punto.

(Si bien las aproximaciones las hemos expresado con dígitos en base decimal, la situación es análoga en cualquier otra base, pero esa es otra historia...)

En la actualidad consideramos que los puntos de una línea recta en sentido euclidiano, conforman un sistema de "números", y así cada punto de la recta corresponde a un número y recíprocamente.
En particular, los números racionales, a pesar de ser muy "densos" (siempre se pueden obtener dos números racionales tan cerca como uno quiera), no son capaces de "llenar" completamente la recta.
La recta "llena" permite, mediante traslaciones y rotaciones, representar la magnitud de cualquier segmento de la geometría euclidiana.

Estamos ante una "exhaustividad" geométrica, si se quiere, en el sentido de "medición de magnitudes".

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Subsección 4.2. Motivaciones algebraicas de los números reales.

Como vimos en el desplegable anterior, una manera de obtener un número no racional es procurando medir la diagonal de un cuadrado de longitud 1.
Eso conduce a la ecuación algebraica \( x^2=2 \), la cual no tiene solución en el sistema de números racionales.
Para que podamos afirmar que hay alguna solución \( x \), se requiere ampliar el sistema numérico de los racionales a algo aún mayor.
Este sistema sería el de los números reales.

El problema planteado de esta manera no es muy adecuado, porque no toda ecuación algebraica con coeficientes racionales conduce a lo que hoy día llamamos "número real". Por ejemplo \( x^2=-1 \) ya no tendría solución "real".

Voy a hacer un replanteo algo extravagante del "problema" que queremos resolver algebraicamente, para arribar luego a una idea más exacta de aquello con lo que debemos conformarnos y aceptar como "número real".
Observemos que hay una sucesión de números racionales \( 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \) etc., tales que al elevarlos a la potencia 2 dan, claro está, sucesivos números racionales \( 1.96, 1.9881, 1.999396, 1.99996164, \) etc.
Esos números tienen la propiedad de que se van acercando a 2.

Podríamos exigir que, en caso de que una aproximación como esta ocurra en una ecuación algebraica de coeficientes racionales, que haya entonces un "número real" que satisfaga la ecuación en forma exacta al considerar el sistema ampliado de los números reales.

En el ejemplo, la cosa sería así: dado que las sucesivas ecuaciones

\( x^2 = 1.96, x^2=1.9881, x^2=1.999396, x^2=1.99996164 \)

tienen soluciones racionales a medida que el lado derecho se aproxima al número 2,
exigimos que en el sistema ampliado de "números reales" la ecuación \( x^2=2 \) tenga una solucón exacta \( x \), siendo \( x \) un número real.

Si una tal aproximación a la solución no puede obtenerse con números racionales siquiera, entonces no exigiremos que haya solución en el sistema ampliado de los "números reales" (o mejor aún: exigiremos que no haya solución real en ese caso).

Esta sería una forma más "precisa" de concretar el "problema" algebraico que motive la ampliación de los números racionales a un sistema mayor.
Lo hacemos más específico diciendo esto: exigimos que el sistema ampliado de números contenga solución \( x \) al problema \( p(x)=0 \), siendo \( p(x) \) un polinomio de coeficientes racionales, siempre y cuando exista una sucesión de números racionales \( q_1,q_2,q_3,..., \) que se aproximan a \( 0 \) tanto como se quiera, y tal que para cada problema "aproximado" \( p(x)=q_j \) hay al menos una solución \( x \) racional, todo \( j = 1, 2, 3,... \)

En el siguiente dibujo mostramos varios polinomios con coeficientes racionales.
Decir si cierto valor de \( x \) es solución de la ecuación de \( p(x)=0 \) es lo mismo que advertir cuál es el punto de abscisa \( x \) en la recta que corta a la gráfica de la función polinómica \( p(x) \).
Estos puntos \( x \) de corte se llaman raíces de \( p(x) \).
Nótese que los polinomios se han graficado con puntos algo "salteados". Esto es para recordar que estamos pensando que \( x \) varía en el conjunto "no continuo" de los racionales.
Supongamos que nos interesa hallar las raíces reales de la función polinómica que está dibujada en color negro.
Para ello trasladamos en una cantidad racional \( q_1,q_2, ... \) obteniendo las gráficas de distintos colores, que se van aproximando a medida que \( q_k \) tiende a \( 0 \).
Suponemos que las funciones polinómicas en colores tienen raíces racionales "cercanas" a las raíces de \( p(x) \) (la que está en negro).
Consideremos una de las raíces de \( p(x) \) que está hacia la derecha.
La hemos atravesado con una línea vertical negra para mejor visualización.
Suponemos que el punto de corte con el eje horizontal de abscisas no produce un punto racional.
Los polinomios se van aproximando a medida que \( q_k \) tiende a 0, y las raíces aproximantes de cada uno de ellos se han atravesado con líneas verticales del mismo color del polinomio correspondiente.
Así, el polinomio azul (\( q_1 \)) tiene una raíz en el punto de corte de la vertical azul con la horizontal, el polinomio rojo (\( q_2 \)) tiene una raíz en el punto de corte de la vertical roja, y así sucesivamente seguimos con el polinomio verde (\( q_3 \)), luego el celeste (\( q_4 \)), después el violeta (\( q_5 \)), y a continuación ya no podemos dibujar más y proseguimos en nuestra imaginación con polinomios con raíces racionales que se aproximan cada vez más a \( p(x) \).
En el sistema ampliado de números reales, las sucesivas raíces racionales aproximantes, que podemos ir denotando \( x_1,x_2,..., \) se aproximan cada vez más a la raíz no racional de \( p(x) \).

Sin embargo en todo esto hay una "falla". Veamos.
Supongamos que hemos construido un sistema ampliado de números que resuelven toda ecuación algebraica \( p(x)=0 \), siendo \( p(x) \) un polinomio de coeficientes racionales, con las salvedades antes  indicadas. ¿Qué es lo que hemos obtenido? ¿Hemos "llenado" la recta?

Se puede demostrar que un tal sistema es numerable, y por lo tanto no puede llenar la "recta" cuyo cardinal es no numerable.
Pero si todavía no nos creemos estos hechos de cardinalidad (porque estamos en etapa de "construcción" de sistemas numéricos), entonces podemos convencernos por otros caminos.
Por ejemplo, hay sucesiones de puntos racionales en la recta que se acercan (convergen) a puntos que no son solución de ecuación algebraica alguna.
Si extendiéramos el perímetro de media circunferencia de radio \( 1 \) en la recta, obtendríamos una magnitud, la cual denotamos con \( \pi \), de la cual puede demostrarse no sólo que no es racional, sino que tampoco es solución de ecuaciones algebraicas como las indicadas arriba.

Para "completar" la recta hará falta una exigencia que vaya más allá del deseo de resolver ciertos "problemas o huecos algebraicos" del sistema de números racionales. Tendremos también que tener en cuenta los "huecos" analíticos.

Se ha podido comprobar, tras largos siglos de búsqueda, que la propiedad clave que permite "llenar" la recta es la "completitud en sentido de Cauchy", la cual esencialmente dice que toda sucesión de puntos de la recta que se aproximan entre sí tanto como se quiera, "converge" a algún punto concreto \( P \) de la recta, o sea, la sucesión se aproxima a ese punto \( P \) tanto como se desee.

Otra manera equivalente de indicar esta propiedad en términos geométricos sería diciendo que: todo conjunto \( A \) de puntos (no vacío) que está contenido en algún segmento \( RS \) de la recta, puede "ajustarse" de manera que hay un segmento \( PQ \) mínimo (contenido en \( RS \)) que contiene a todos los puntos de \( A \).
O sea, la intersección de todos los segmentos que contienen al conjunto \( A \), sigue siendo un segmento propiamente dicho, y que aún contiene a \( A \). Naturalmente, un segmento como éste no puede hacerse más pequeño.

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Como hemos hecho hasta ahora, comenzaremos dando los números reales a partir de una lista de axiomas, luego probaremos que estos axiomas dan esencialmente un único sistema posible de números reales, seguidamente veremos que el sistema incluye en su seno "copias" de los números racionales, y por último demostraremos que la teoría es no vacía, construyendo algún modelo que verifica la lista de axiomas.

En el caso de los números reales hay varias maneras alternativas de llevar a cabo la construcción de un modelo. Todas ellas son importantes, y las estudiaremos con cuidado.



Subsección 4.3. Axiomas de los Números Reales.

Los entes primitivos del Sistema Axiomático de los números reales serán \( R, +, ., 0, 1,  \leq \).
Los Axiomas de los números reales son los siguientes:

• Axioma 1. El quinteto \( (R,+,.,0,1) \) es un cuerpo con identidad \( 0 \) respecto la adición \( + \) e identidad \( 1 \) respecto el producto \( \cdot \).
  
  Los detalles de lo que esto significa son idénticos a lo explicado en el Axioma 1 del post de números racionales, y no vale la pena repetir todo de nuevo.
  Podemos resumir un poco diciendo lo siguiente:
  
  • La terna \( (R,+,0) \) es un grupo conmutativo con identidad \( 0 \).
  • La terna \( (R\setminus\{0\},\cdot,1) \) es un grupo conmutativo con identidad \( 1 \).
  • El producto distribuye a la suma en \( R \).
  
  
• Axioma 2. \(  \leq \) es una relación de orden total en \( R \).
  
  Los detalles son los mismos que los del Axioma 2 del post de números racionales, y no vale la pena repetir todo de nuevo.
  
  Se dice que un elemento \( m\in R \) es positivo si \( m > 0 \), y se dice negativo si \( m < 0 \).
  Se dice que un elemento \( m\in R \) es no negativo si \( m \geq0 \), y se dice no positivo si \( m  \leq 0 \).
  
  
• Axioma 3. La suma y el producto son monótonas respecto el orden \( \leq \)
  
  Se trata de las mismas propiedades enumeradas en el Axioma 3 del post de los números racionales, y no vale la pena repetir todo otra vez.
  
  
• Axioma 4 (de la cota superior mínima). Si un subconjunto no vacío \( A \) de \( R \) tiene una cota superior, entonces el conjunto \( B \) de todas las cotas superiores de \( A \) tiene un elemento mínimo.
  
  
  (El significado detallado de esto: abriendo el desplegable)

  
  Un elemento \( s\in R \) es una cota superior de un subconjunto \( A \) de \( R \),
  si para todo elemento \( a \in s \) se cumple que \( s \geq a \).
  Notemos que \( s \) puede ser un elemento de \( A \) o no, según se dé el caso.
  
  Un elemento \(  b \in R \) es un elemento mínimo de un subconjunto \( B \) de \( R \),
  si \( b \) es un elemento de \( B \), y además para todo \( s\in B \) se cumple que \( b \leq s \).
  Se denota en este caso \( b = \min(B) \).
  
  Tomemos un conjunto \( A \) no vacío, y sea \( B \) el conjunto de todos los elementos \( s\in R \) que son cotas superiores de \( A \).
  Decir que \( A \) tiene alguna cota superior equivale a decir que \( B \) es no vacío.
  
  El Axioma afirma ahora que existe un elemento \( b \in B \) que es el mínimo de \( B \).
  En otras palabras, de entre todas las cotas superiores de \( A \), hay siempre alguna que es la mínima de todas ellas.
  
  

  

  
  En el dibujo se han convertido los puntos correspondientes a números reales en "palitos" apoyados sobre la recta numérica.
  El conjunto \( A \) contiene los puntos/palitos de color marrón,,
  mientras que el conjunto \( B \) de cotas superiores de \( A \) contiene los puntos/palitos de color azul.
  En realidad, sólo hemos puesto unos pocos puntos/palitos del conjunto \( B \), ya que todo lo que está "a la derecha" del punto/palito de color púrpura es una cota superior de \( A \).
  Finalmente, el punto/palito de color púrpura es la mínima de todas las cotas superiores del conjunto \( A \).
  O sea, que el punto/palito de color púrpura está en \( B \), y por lo tanto debiera estar en color azul.
  Pero lo he dibujado con otro color porque ese punto/palito también podría estar en el conjunto \( A \), o sea, sería un punto/palito de color marrón.
  Nos preguntamos si ese punto/palito púrpura está en \( A \).
  La respuesta es: a veces sí, y a veces no. Cuando está, es el máximo de \( A \).
  
  Se ha procurado ilustrar también el hecho de que el punto/palito púrpura, la mínima cota superior de \( A \), se "ajusta" estrechamente al conjunto \( A \).
  
  
  

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Observemos que los primeros 3 Axiomas son idénticos a los dados para los números racionales.
Se trata de los axiomas de cuerpo ordenado.
Por lo tanto, todas aquellas propiedades de los números racionales que se han demostrado usando sólo esos 3 Axiomas y sus consecuencias directas, son también válidas para los números reales.

Por ejemplo, en el siguiente post damos una lista de 6 lemas que siguen siendo válidos en el contexto de los números reales, ya que sus demostraciones dependen sólo de los axiomas de cuerpo ordenado.

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Subsección 4.4. Lemas básicos de los Números Reales.

Definición. Dados \( a,b\in R \), se define la resta de \( a \) y \( b \) como \( a - b=a+(-b) \).

Lema 1. El producto de cualquier número real por 0 es igual a 0.
Lema 2. Para todo número real \( a \), su inverso aditivo satisface: \( -a=(-1).a \).
Lema 3. 1 > 0.
Lema 4. Un número real \( a \) es positivo si, y sólo si, \( -a \) es negativo.
Lema 5. Si \( a,b\in R \) son tales que \( a \leq b \), entonces \( -b \leq -a \).
Lema 6. Si \( a\in R \), \( a \geq 1 \), entonces \( 0<a^{-1} \leq 1. \)

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Subsección 4.5. Propiedades estructurales básicas de los Números Reales.

Lo primero que vamos a probar es que existe un subsistema de \( R \) que satisface los axiomas de los números racionales

• Teorema 0. Existe un subconjunto \( N \) de \( R \), que contiene al elemento 1 (el neutro de la multiplicación), de tal suerte que \( (N,s,1,+,\cdot, \leq) \) es isomorfo al sistema de los números naturales, donde \( s:R\to R \) es la función definida por \( s(x)=x+1 \). Más aún, ese conjunto es único.
  
  La demostración se hace del mismo modo que como expusimos en el Teorema 0 del post anterior dedicado a los números racionales.
  Tan sólo basta cambiar la letra \( Q \) por la letra \( R \) en todas las apariciones de esa demostración, así como también se cambian las apariciones de la palabra "racional" por la palabra "real".
  
  
• Definición. Llamamos al único conjunto \( N \) obtenido en el Teorema 0, subconjunto de números naturales contenido en \( R \).
  
  Consideremos el conjunto \( Z = \{m\in R:-m\in N\}\cup\{0\}\cup\{m\in R:m\in N\} \).
  Denominamos a \( Z \) el subconjunto de enteros de \( R \).
  
  Finalmente, consideremos el conjunto \( Q = \{q \in R: q=m\cdot n^{-1}, m \in Z, n \in N\} \).
  Denominamos a \( Q \) el subconjunto de racionales de \( R \).
  
  
• Teorema 1. El sistema \( (Z,+,\cdot, 0,1,\leq) \) donde \( Z \) es el subconjunto de enteros de \( R \), satisface los Axiomas de los números enteros. Además, ese conjunto es único.
  
  La demostración depende tan sólo los axiomas de cuerpo ordenado, y por lo tanto es idéntica a la que ya hemos dado en el Teorema 1 del post de números racionales.
  
  
• Teorema 2. El sistema \( (Q,+,\cdot, 0,1,\leq) \) donde \( Q \) es el subconjunto de racionales de \( R \), satisface los Axiomas de los números racionales. Además ese conjunto es único.
  
  
  Demostración (abrir desplegable)

  
  En primer lugar, probemos que el subconjunto \( Q \) antes definido es cerrado por operaciones de suma y producto.
  
  Para ello, sean \( q,q' \in Q \). Por definición de \( Q \), existen \( m,m' \in Z \), \( n,n' \in N \), tales que \( q = m\cdot n^{-1} \), \( q' = m'\cdot {n'}^{-1} \).
  Tenemos ahora que
  
  

  \( \begin{align*}\displaystyle q+q'&=m\cdot n^{-1}+m'\cdot {n'}^{-1}\\&=m\cdot n^{-1}\cdot {n'}\cdot{n'}^{-1}+m'\cdot {n'}^{-1}\cdot n\cdot{n}^{-1}\\ &=(m\cdot n'+m' \cdot n)\cdot (n^{-1}\cdot{n'}^{-1}).\end{align*} \)

  
  Como es fácil comprobar, \( (n^{-1}\cdot{n'}^{-1})\cdot(n\cdot{n'})=1 \), o sea que el recíproco multiplicativo de \( n\cdot{n'} \) coincide con \( n^{-1}\cdot{n'}^{-1} \), o sea: \( (n\cdot{n'})^{-1}=n^{-1}\cdot{n'}^{-1} \). Esto permite terminar el cálculo anterior:
  
  

  \( q+q'=(m\cdot n'+m' \cdot n)\cdot (n\cdot{n'})^{-1}. \)

  
  Ahora bien, es claro que \( m\cdot n'+m' \cdot n \) es un elemento de \( Z \), y que \( n\cdot{n'} \) es un elemento de \( N \). Esto muestra que \( q+q' \) es un elemento de \( Q \).
  
  Además
  \( q\cdot q'=(m\cdot n^{-1})\cdot(m'\cdot {n'}^{-1})=(m\cdot m')\cdot (n^{-1}\cdot {n'}^{-1})=(m\cdot m')\cdot (n \cdot {n'})^{-1}. \)
  Claramente, \( m\cdot m' \) es un elemento de \( Z \), y \( n\cdot n' \) es un elemento de \( N \).
  Esto muestra que \( q\cdot q' \) es un elemento de \( Q \).
  
  Más aún, los opuestos y recíprocos de elementos de \( Q \) están aún en \( Q \). Veamos:
  Si \( q \in Q \) entonces existen \( m \in Z, n \in N \) tales que \( q = m\cdot n^{-1} \).
  Tenemos que \( -q = (-1)\cdot m\cdot n^{-1} =((-1)\cdot m)\cdot n^{-1}=(-m)\cdot n^{-1}. \)
  Como \( -m \) está en \( Z \), esto prueba que \( -q \) está en \( Q \).
  
  Supongamos adicionalmente que \( q \neq 0 \). En ese caso, es claro que \( m \) no puede ser \( 0 \), luego existe el recíproco \( m^{-1} \) de \( m \) en \( R \).
  Definamos \( r = n \cdot m^{-1} \)
  Puede ocurrir que \( m > 0 \), o que \( m < 0 \).
  Sea en primer lugar \( m > 0 \). Tenemos que \( m \in N \), y \( n \in Z \) porque \( n \in N \subset Z \).
  Así que \( r \in Q \).
  Si \( m < 0 \), entonces \( -m>0 \) y \( m = (-1)\cdot (-m) \).
  También tenemos que \( m^{-1}=(-1)\cdot (-m)^{-1} \), como es fácil de comprobar. Ahora escribimos
  
  

  \( r=n \cdot {(-1)\cdot(-m)}^{-1}=(n\cdot(-1))\cdot (-m)^{-1}=(-n)\cdot (-m)^{-1}. \)

  
  Claramente \( -n \in Z, -m \in N \), con lo cual \( r \in Q \).
  
  Finalmente, es sencillo verificar que \( q \cdot r = 1 \), con lo cual \( q^{-1} = r \).
  
  A continuación, es inmediato que todos los axiomas de cuerpo ordenado se cumplen en \( Q \), porque las propiedades de \( R \) de los axiomas 1, 2 y 3, se heredan a cualquier subconjunto de él.
  Dejamos al lector convencerse de esto, mirando una a una las propiedades correspondientes.
  
  Por lo tanto, el sistema \( (Q,+,\cdot, 0,1,\leq) \) satisface los axiomas de cuerpo ordenado.
  
  Falta comprobar el axioma 4 de los números racionales.
  Primero notemos que \( Q \), por ser un cuerpo ordenado, tiene asociados sus propios subconjuntos \( N_Q, Z_Q \) de naturales y enteros.
  Nos preguntamos si \( N_Q \) coincide con \( N \), y si \( Z_Q \) coincide con \( Z \).
  Según los Teoremas 0 y 1, los subconjuntos de \( R \) que satisfacen los axiomas de números naturales y enteros y que contienen al elemento \( 1 \), son únicos, y por lo tanto necesariamente \( N_Q= N, Z_Q=Z \).
  
  Necesitamos probar que, dado \( q \in Q \), existen \( m \in Z_Q, n \in N_Q \) tales que \( q \cdot n \in Z_Q.  \)
  Pero ahora estamos tranquilos, porque esto es lo mismo que decir que existen \( m \in Z, n \in N \) tales que \( q \cdot n \in Z. \)
  Por la mera definición de \( Q \), existen \( m \in Z, n \in N \) tales que \( q = m\cdot n^{-1} \). Por lo tanto \( q \cdot n = m \in Z. \)
  
  Esto culmina la prueba de que \( (Q,+,\cdot, 0,1,\leq) \) satisface los Axiomas de números racionales.
  
  Supongamos que hubiese otro subconjunto \( \tilde Q \) en \( R \) que satisfaga los Axiomas de números racionales.
  Naturalmente, tal \( \tilde Q \) contiene al número 1, y también contiene respectivos subconjuntos de naturales y enteros, los cuales, por ser subconjuntos de \( R \), han de coincidir con \( N \) y \( Z \) respectivamente.
  Ciertamente, el recíproco de todo elemento de \( N \) ha de estar en \( \tilde Q \), y también los productos \( m\cdot n^{-1} \), con \( m\in Z, n\in N \), también han de estar en \( \tilde Q \), por tratarse de un cuerpo.
  Esto muestra que \( Q \subset \tilde Q \).
  A su vez, por el Axioma 4 de números racionales, resultará que todo elemento de \( \tilde Q \) es de la forma anterior, así que \( \tilde Q = Q. \)
  
  Adicionalmente, se puede comprobar (ya con un poco de hartazgo), que la función identidad \( \iota: Q \to \tilde Q \), \( \iota(q)=q \) es un isomorfismo entre sistemas de números racionales.
  
  Esto culmina la prueba.
  
  

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Subsección 4.6. Interpretaciones y equivalencias de la cota superior mínima. Caracterizaciones típicas.

El Axioma 4, de la cota superior mínima, es lo que distingue al sistema de los números reales de algún otro cuerpo ordenado.
Antes de aplicarlo en las demostraciones de teoremas, sería bueno tener disponibles varias versiones diferentes del Axioma, y tratar de comprender intuitivamente lo que significa, en términos geométricos y de aproximaciones.

Podemos ir vislumbrando que la idea de "aproximación" es clave en la definición y estudio de los números reales.
Abusaremos de la idea de aproximación tanto como sea necesario.

Nuestra estrategia será dar un Teorema que abarque las equivalencias más comunes, y en los desplegables daremos los detalles necesarios, ya sea de definiciones, ejemplos con gráficos o demostraciones.

Para lo que sigue, vamos a suponer que sólo tenemos los Axiomas de Cuerpo Ordenado 1, 2 y 3.
Bajo esas condiciones, podremos estudiar qué propiedades serían equivalentes al Axioma 4 de la cota superior mínima, y en tal caso, cualquiera de dichas propiedades podría considerarse como el Axioma 4,
dando lugar a un sistema axiomático totalmente equivalente.

Teorema 3. El Axioma de la cota superior mínima es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones:

• (a) Todo subconjunto \( A \) de \( R \), no vacío y acotado superiormente, tiene un supremo.
  
  
  Preliminares sobre sistemas totalmente ordenados, cotas superiores e inferiores, supremos e ínfimos

  
  Antes que nada, debemos dar definiciones en el contexto general de sistemas totalmente ordenados, para aplicarlas luego al caso específico del sistema de números reales.
  
  Sea \( (X,  \leq) \) un sistema totalmente ordenado.
  Esto quiere decir que \( X \) es un conjunto cualquiera, y que \(  \leq \) es una relación que satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva (\(  \leq \) es un orden) y de tricotomía (todo par de elementos \( x, y \) de \( X \) es comparable en un sentido o en otro: \( x  \leq y \) ó \( y  \leq x \)).
  
  Sea \( A \) un subconjunto no vacío de \( X \).
  Decimos que un elemento \( m \in A \) es un mínimo de \( A \) si \( m  \leq x \) para todo \( x \in A \).
  De modo análogo, se dice que \( M \in A \) es un máximo de \( A \) si \( M  \geq x \) para todo \( x \in A \).
  No todo conjunto tiene mínimo o máximo.
  Pero si un conjunto tiene mínimo (o máximo), se puede demostrar fácilmente que es único.
  
  Se dice que un elemento \( s \in X \) es una cota superior de \( A \) si para todo elemento \(  a \in A \) se tiene que \( a  \leq s \).
  Obsérvese que el elemento \( s \) podría estar en \( A \) o no, según se dé el caso.
  Se dice que \( A \) está acotado superiormente o que tiene cota superior, si existe algún \( s \in X \) que es cota superior de \( A \).
  De modo análogo, se puede decir que \( A \) tiene una cota inferior \( r \in X \) si para todo \(  a \in A \) vale que \( r \leq a \). Asimismo, \( A \) es acotado inferiormente si existe algún \( r \in X \) que es cota inferior de \( A \).
  
  Sea \( S_A \) el conjunto de todas las cotas superiores de un conjunto no vacío \( A \).
  Si \( S_A \) es no vacío, es equivalente a decir que \( A \) tiene cota superior.
  Supongamos que \( S_A \) es no vacío.
  Obviamente, todo elemento \( a \) de \( A \) es cota inferior del conjunto \( S_A \).
  
  Nos preguntamos si este conjunto \( S_A \) de cotas superiores de \( A \) tiene algún mínimo.
  En caso de que haya una tal cota superior mínima de \( A \), se le da el nombre de supremo de \( A \).
  Puede que un conjunto \( A \) tenga o no un supremo, pero si lo tiene, es fácil probar que tiene que ser único, porque sabemos que el conjunto \( S_A \) sólo puede tener a lo sumo un elemento mínimo.
  
  De modo análogo, si \( R_A \) es el conjunto de cotas inferiores de \( A \), puede que \( R_A \) sea vacío o no.
  En este último caso \( A \) es acotado inferiormente, y todo elemento de \( A \) sirve como cota superior del conjunto \( R_A \).
  Dicho conjunto puede tener un máximo o no, y en caso de existir es único, y se llama el ínfimo de \( A \).
  
  
  Finalmente notemos que, como estamos suponiendo los Axiomas 1, 2 y 3, tenemos que \( (R, \leq) \) es un sistema totalmente ordenado (específicamente, esto es sólo el Axioma 2), y valen las definiciones que hicimos arriba de mínimo, máximo, supremo e ínfimo para subconjuntos \( A \) de \( R \).
  
  

  

  
  En el dibujo se ilustran los dos casos: de supremo e ínfimo.
  Los puntos correspondientes a números reales se han dibujado con palitos para mejor visualización.
  El conjunto \( A \) se ilustra en cada caso con palitos marrones.
  El conjunto de todas las cotas superiores en el dibujo superior está en azul,
  y lo mismo para las cotas inferiores en el dibujo inferior.
  En cada caso, el supremo o el ínfimo se dibuja como un punto/palito magenta.
  Si bien el palito magenta también debe ser siempre azul, lo hemos dejado con otro color para recordar que "en algunos casos" también puede ser marrón.
  
  
  

  [cerrar]
  
  
  Demostración de la equivalencia con (a)

  
  El Axioma de la cota superior mínima afirma que si \( A \) es un subconjunto de \( R \) que tiene cota superior, entonces \( A \) tiene supremo.
  
  Esto es equivalente a decir que \( A \) tiene una mínima cota superior, o sea, entre el presente ítem y el Axioma de la cota superior mínima sólo hay un cambio de terminología.
  
  

  [cerrar]
  
  
  Relación entre un conjunto y el conjunto de sus cotas superiores

  
  Agregamos un comentario final: ¿Es posible que \( A \) y \( S_A \) compartan elementos? La respuesta es afirmativa, porque puede ocurrir que haya un elemento \( s \in A \) que sea mayor o igual a todo elemento de \( A \), y por lo tanto sería también una cota superior de \( A \). Sin embargo, puede probarse que a lo sumo hay un elemento con esta propiedad.
  Lo mismo podemos decir de \( A \) y \( R_A \).
  
  

  [cerrar]
  
  
• (b) Todo subconjunto \( A \) de \( R \), no vacío y acotado inferiormente, tiene un ínfimo.
  
  
  Demostración de la equivalencia con (b)

  
  El el ítem precedente hemos definido lo que significa ínfimo de un sistema ordenado.
  Ahora consideremos el sistema ordenado \( (R, \leq) \) que cumple los Axiomas 1, 2 y 3 de cuerpo ordenado (en realidad en este momento nos basta con el Axioma 2).
  
  Supongamos que, adicionalmente, vale el Axioma de la cota superior mínima, y tomemos un conjunto no vacío \( A \) de \( R \), que tiene alguna cota inferior.
  Denotemos con \( R_A \) al conjunto de todas las cotas inferiores de \( A \).
  Tenemos, claro, que \( R_A \neq \emptyset \).
  
  A su vez, \( R_A \) tiene al menos una cota superior, ya que todo elemento de \( A \) es cota superior del conjunto \( R_A \). Podemos considerar, pues, el conjunto \( S_{R_A} \) de todas las cotas superiores del conjunto \( R_A \), que es no vacío.
  Por Axioma de la cota superior mínima, ocurre que \( S_{R_A} \) tiene un elemento mínimo, que denotaremos \( s \).
  Resulta, pues, que para todo \( x \in R_A \), se satisface que \( x  \leq s \), y además,
  para todo \( a \in R \) con la propiedad de que \( x  \leq a \) para \( x \in R_A \), se tiene que \( s  \leq a \) (minimalidad de \( s \)).
  Ahora bien. Como todo \(  a \in A \) es cota superior de \( R_A \), resulta que \( s  \leq a \), todo \(  a \in A \). Luego \( s \) es una cota inferior de \( A \).
  Esto significa que \(  s \in R_A \).
  Pero sabemos que \( s \) es cota superior de \( R_A \), por lo tanto \( s \) es un elemento máximo de \( R_A \), o sea, \( s \) es un ínfimo de \( A \), que ha de ser único, como ya sabemos.
  
  
  Recíprocamente, supongamos que tenemos un sistema totalmente ordenado \( (R,  \leq) \) en el que vale la propiedad de que todo conjunto no vacío con alguna conta inferior, tiene ínfimo.
  Con un razonamiento similar al de los párrafos de arriba, podemos demostrar que se cumple el Axioma de la cota superior mínima, o sea, que todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene supremo.
  
  

  [cerrar]
  
  
• (c) Toda sucesión monótona y acotada de números reales, converge a un límite en \( R \).
  
  
  Preliminares sobre límites de sucesiones y sus propiedades fundamentales

  
  Decimos que una sucesión \( \{a_k\}_{k=1}^\infty \) tiene límite \( L \in R \),
  si para cualquier \(  \epsilon > 0  \) existe un entero positivo \( K_\epsilon \) tal que:
  
  

  \( k \geq K_\epsilon \Rightarrow{L-\epsilon \leq a_k \leq L+\epsilon}. \)

  
  Ilustremos la definición con un dibujo.
  Los índices \( k=1,2,3,... \) se marcan como segmentos congruentes consecutivos en el eje horizontal.
  Los valores posibles que puede tomar la sucesión se representan en el eje vertical.
  El valor límite \( L \) se marca con un punto marrón, y se traza una línea horizontal a través de él para tener una clara referencia geométrica.
  Por encima de cada tramo correspondiente a un índice, digamos, \( k \), se grafica una barra horizontal correspondiente al elemento \( a_k \) de la sucesión. La "altura" a la que aparece dicho segmento es la "posición" que le corresponde como valor en el eje vertical. Si extendiéramos la línea horizontal que forma el segmento, cortaría al eje vertical en el valor que le corresponde.
  Ahora bien. Se eligen valores de "\( \epsilon \)" diferentes, cada vez más pequeños, y se estudia el comportamiento de la sucesión \( \{a_k\}_k \) en torno al número \( L \), tomando intervalos en el eje vertical con centro en \( L \), y "radios" sucesivamente más pequeños \( \epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,... \)
  Para el "radio" \( \epsilon=\epsilon_1 \), formamos una franja de color azul que delimita el intervalo de valores entre \( L-\epsilon_1 \) y \( L+\epsilon_1 \).
  Más adentro, formamos una franja de color verde que delimita los valores entre \( L-\epsilon_2 \) y \( L+\epsilon_2 \).
  Más adentro aún, formamos una franja de color magenta que delimita los valores entre \( L-\epsilon_3 \) y \( L+\epsilon_3. \)
  
  

  

  
  En el gráfico, inicialmente todos los elementos de la sucesión se representan con segmentos de color negro.
  A partir de cierto valor de índices, digamos, desde \( \color{blue}K_{\epsilon_1} \) en adelante, todos los elementos de la sucesión caen en la franja delimitada por líneas azules.
  A estos elementos los "repintamos" poniéndoles un trozo de color azul.
  A partir de cierto índice \( \color[rgb]{.216,.439,0}K_{\epsilon_2} \) en adelante, todos los elementos de la sucesión caen en la franja delimitada por líneas verdes.
  A estos elementos los "repintamos" poniéndoles un trocito de color verde.
  A partir del índice \( \color{magenta}K_{\epsilon_3} \) en adelante, todos los elementos de la sucesión caen en la franja delimitada por líneas magenta.
  A estos elementos los "repintamos" poniéndoles una puntita de color magenta.
  Podríamos seguir "ajustando" el radio en torno a \( L \), tomando valores \(  \epsilon_4,\epsilon_5, \) etc., cada vez más pequeños, dando lugar a franjas cada vez más estrechas en torno a \( L \), y obteniendo valores de índices \( K_{\epsilon_4}, K_{\epsilon_5} \), etc., a partir de los cuales la sucesión cae siempre en esas franjas.
  Como este proceso no podemos dibujarlo ad infinitum, procuremos completarlo con la imaginación.
  
  Obsérvese que, por ejemplo, aunque \( a_3 \) cayó dentro de la franja delimitada en azul, el índice \( \color{blue}K_{\epsilon_1} \) no se tomó igual a 3, sino igual a 6, porque es necesario que "todos" los índices \( k \geq K_{\epsilon_1} \) satisfagan que \( a_k \) está en la franja delimitada por el color azul. El índice \( k= 4 \) no respetaría esta condición.
  Situaciones similares ocurren para \( a_4 \) en relación a \( {\color[rgb]{.216,.439,0}K_{\epsilon_2}}=7 \) (zona delimitada por verde), y también \( a_8 \) y \( a_{10} \) en relación a \( {\color{magenta}K_{\epsilon_3}} = 12 \) (zona magenta).
  
  ________
  
  Una propiedad básica que debemos tener en cuenta es la siguiente:
  
  \( \textsf{{\bf\textbullet}} \) En un sistema totalmente ordenado, si una sucesión tiene límite, éste es único.
  
  En efecto, supongamos por el absurdo que hubiera dos límites \( L_1 \) y \( L_2 \), con \( L_1 < L_2 \), y sea \( \epsilon =  (L_2-L_1)/3 \).
  Por definición de límite, existen enteros positivos \( K_1, K_2  \) tales que
  \( k  \geq K_1 \Rightarrow{a_k \leq L_1+\epsilon<L_1+(L_2-L_1)/2}=(L_1+L_2)/2 \),
  y \( k  \geq K_2 \Rightarrow{(L_1+L_2)/2<L_2-\epsilon<a_k} \).
  Se desprende de aquí que para \( k = \max(K_1,K_2) \) sería \( a_k<(L_1+L_2)/2<a_k \), contradicción.
  
  Ahora, dado que el límite cuando existe es único, podemos escribir:
  

  \( \lim_{k\to \infty}a_k = L. \)

  
  Probemos dos propiedades fundamentales de los límites:
  
  Definición: Sea \( \{a_k\}_{k=1}^\infty \) una sucesión. Sea \( \{k_m\}_{m=1}^\infty \) una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos: \( k_1 < k_2 < .... \)
  Se dice que \( \{b_m\}_{m=1}^\infty \) dada por \( b_m = a_{k_m} \) es una subsucesión de \( \{a_k\}_k \).
  
  Propiedad del limite de una subsucesión: Sea \( \{a_k\}_{k=1}^\infty \) una sucesión que converge a un límite \( L \). Sea \( \{b_m\}_{m=1}^\infty \), \( b_m = a_{k_m} \) una subsucesión de \( \{a_k\}_k \). Para ella se tiene que:
  
  

  \( \lim_{m\to \infty}b_m = L. \)

  
  Demostracion:
  En primer lugar, se puede probar que \( k_m  \geq m \), todo \( m \), por lo tanto, siempre hay un índice \( k_m \) suficientemente grande...
  Sea \(  \epsilon > 0  \), y sea \( K_\epsilon \) entero positivo tal que \( k  \geq N_\epsilon \) implica \( L-\epsilon  \leq  a_k  \leq L+\epsilon. \)
  Sea \( m_\epsilon = N_\epsilon \). Si \( m \geq m_\epsilon, \) sabemos que  \( k_{m} \geq k_{m_\epsilon} \geq m_\epsilon \), por lo tanto \( L-\epsilon  \leq  a_{k_m}  \leq L+\epsilon. \) Esto quiere decir que \( L-\epsilon  \leq  b_m  \leq L+\epsilon. \)
  
  
  Propiedad de monotonía de los límites. Sean \( \{a_k\}_{k=1}^\infty, \{b_k\}_{k=1}^\infty \) dos sucesiones con límites respectivos \( L_1 \) y \( L_2 \), tales que \( a_k \leq b_k \), para todo índice \( k \). Entonces \( L_1  \leq L_2 \).
  
  Demostración:
  Supongamos que \( L_2 < L_1 \), y sea \( \epsilon=(L_1-L_2)/3 \).
  Se pueden hallar índices \( K_1, K_2 \) tal que \( k  \geq K_1 \) implica \( L_1-\epsilon \leq a_k \), y \( k  \geq K_2 \) implica \( b_k  \leq L_2+\epsilon \).
  Elegimos \( k = \max\{K_1,K_2\} \), y obtenemos:
  \( b_k \leq L_2+\epsilon < (L_1+L_2)/2< L_1-\epsilon \leq a_k, \)
  lo cual contradice que \( a_k  \leq b_k \).
  
  Así que \( L_1 \leq L_2. \)
  
  
  Propiedad del límite de la sucesión intermedia. Sea \( \alpha\in R \) y supongamos que \( \{a_n\}_{n=1}^\infty \), \( \{b_n\}_{n=1}^\infty \), \( \{c_n\}_{n=1}^\infty \), son tres sucesiones en \( R \), tales que \( a_n \leq b_n \leq c_n \), todo \( n=1,2,3,... \), y tal que \( \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha=\lim_{n\to\infty}c_n \).
  Entonces la sucesión \( \{b_n\}_{n=1}^\infty \) tiene límite, y además \( \lim_{n\to\infty}b_n=\alpha \).
  
  Demostración:
  Sea \( \epsilon>0 \). Existen enteros positivos \( m_\epsilon,n_\epsilon \) tales que \( n \geq n_\epsilon \) implica \( -\epsilon<a_n-\alpha<\epsilon \), y \( n \geq m_\epsilon \) implica \( -\epsilon<c_n-\alpha<\epsilon \).
  Tomemos \( r_\epsilon=\max(m_\epsilon,n_\epsilon). \)
  Por lo tanto, para \( n \geq r_\epsilon \): \( -\epsilon<a_n-\alpha \leq c_n-\alpha \leq b_n-\alpha<\epsilon \).
  Se obtiene \( -\epsilon+\alpha< c_n<\epsilon+\alpha \), con lo cual \( \lim_{n\to\infty} c_n=\alpha \).
  
  
  Se deja como ejercicio probar esta otra propiedad:
  
  Álgebra de los límites: Sean \( \{a_k\}_{k=1}^\infty, \{b_k\}_{k=1}^\infty \) dos sucesiones con límites respectivos \( L \) y \( M \).
  Entonces \( \lim_{k \to \infty}(a_k+b_k)=L+M \) y \( \lim_{k \to \infty}(a_k\cdot b_k)=L\cdot M \).
  
  
  Hacemos ahora una pregunta polémica:
  ¿Es cierto que la sucesión \( \{2^{-k}\}_{k=1}^\infty \) tiende a 0?
  
  Mientras estemos hablando en la generalidad de un cuerpo ordenado \( R \), no puede responderse esa pregunta con absoluta certeza.
  Si \( \epsilon>0 \) no es un elemento "racional" (ver Teorema 2) de \( R \), ¿podemos asegurar que al menos uno de los elementos \( 2^{-k} \) es menor que \( \epsilon \)?
  
  Sin hipótesis adicionales, nada más podríamos afirmar sobre el límite de esa sucesión tan familiar para todos nosotros.
  Sin embargo, podemos siquiera decir lo siguiente:
  
  Supongamos que por algún motivo dado por el contexto, efectivamente sabemos que existe el límite de la sucesión \( \{2^{-n}\}_n \). En tal situación, el límite es justo igual a 0. Veamos por qué.
  
  Es claro que el límite, de existir, es un número \( L \geq 0 \). Supongamos que es estrictamente positivo: \( L>0. \)
  Ahora consideremos la sucesión dada por \( \{2^{-n}\cdot 2^{-n}\}_n \). El producto de dos sucesiones con límite \( L \) ha de ser una sucesión con límite \( L ^2 \), según el álgebra de los límites.
  
  Así que: \( \lim_{n\to\infty}2^{-2n}=\lim_{n\to\infty}2^{-n}\cdot2^{-n}=L^2 \).
  
  Pero por otra parte, tomando \( \{c_m\}_{m=1}^\infty \) dada por \( c_m=2^{-2m} \), obtenemos que \( \{c_m\}_m \) es una subsucesión de \( \{2^{-n}\}_n \), y sabemos que en este caso el límite debe coincidir con \( L \).
  Por la unicidad del límite, debemos tener ahora que \( L^2=L \).
  Si \( 0<L<1 \), resulta \( L^2=L\cdot L<L\cdot 1=L \), y si \( L>1 \) se tiene análogamente \( L^2>L \).
  Así que sólo podría ser \( L=1 \), pero es fácil comprobar que \( L < 2^{-n} \leq 1/2<1 \), todo \( n \), así que
  tampoco puede darse este caso.
  
  La única posibilidad es que \( L=0. \)
  
  ¿Qué es lo que impide asegurar que el límite en efecto exista?
  La propiedad que nos falta es la arquimedianeidad, o alguna sustituta adecuada.
  Así que en cada uno de los incisos que siguen, tendremos que tener especial cuidado al afirmar que el límite de la sucesión \( \{2^{-n}\}_n \) existe.
  
  
  

  [cerrar]
  
  
  Demostración de la equivalencia con (c)

  
  Pasemos ahora a probar la equivalencia entre el Axioma de la cota superior mínima y la propiedad del límite de las sucesiones monótonas. Vamos a trabajar solamente con sucesiones monótonas no-decrecientes, ya que para sucesiones monótonas no-crecientes los razonamientos son análogos.
  
  La situación típica es como se ilustra en el dibujo.
  
  

  

  
  
  \( \underline{\mathbf{\Rightarrow{}}:} \)
  
  Supongamos que vale el Axioma de la cota superior mínima.
  Sea \( \{a_k\}_{k=1}^\infty \) una sucesión no-decreciente (\( k<l \Rightarrow{ a_k \leq a_l} \)) y acotada de elementos de \( R \).
  Esto quiere decir que todos los elementos de la sucesión están en algún intervalo acotado \( a < x < b \).
  Dado que la sucesión tiene cota superior, el conjunto \( A = \{a_k: k=1,2,3,...\} \) tiene una mínima cota superior que denotaremos \( s \).
  
  Sabemos que \( a_k  \leq s \) para todo entero positivo \( k \).
  Sea \(  \epsilon > 0  \). Naturalmente tenemos que \( s - \epsilon < s \).
  Si para todo \( k \) ocurriese que \( a_k  \leq s-\epsilon \)

  [cerrar]

[argentinator]

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.7. Equivalencias con la cota superior mínima. Arquimedianeidad y sucesiones de Cauchy.

El Teorema 3 no es la última palabra en lo que respecta a propiedades equivalentes a la de la cota superior mínima. En lo que sigue buscamos dar una última e importante "puntada" en este asunto tan fundamental.

Valor absoluto

Valor absoluto: Este concepto elemental será muy útil en los desarrollos ulteriores acerca de números reales y demostraciones de ciertos resultados. La función valor absoluto de un elemento \( x \) de \( R \) se define como:

\( |x|=\begin{Bmatrix} x & \mbox{ si }& x  \geq 0\\-x & \mbox{si}& x \leq 0\end{matrix} \)

Asimismo, la distancia entre dos elementos \( x, y \) se define como la cantidad \( |x-y| \).

Obviamente, tanto el valor absoluto como la distancia son cantidades no negativas.

Una aplicación básica de estos conceptos es la representación de intervalos centrados en algún punto \( x \).
El intervalo con centro \( x \) y radio \( \epsilon > 0 \) es el conjunto de elementos \( y \) de \( R \) tales que \( |y-x|<\epsilon \). Esta condición es equivalente a la siguiente:

\( -\epsilon<y-x<\epsilon, \)

o bien a esta otra:

\( x-\epsilon<y<x+\epsilon. \)

La función valor absoluto tiene un par de propiedades típicas, que se usan asiduamente:

• Dado \( a\in R \) siempre se cumple que \( -|a| \leq a \leq |a| \).
  
  Esto es de fácil comprobación, si observamos la definición del valor absoluto, y separamos en los dos casos posibles \( a \geq0, a \leq 0 \).
  
  
• Dados \( a,b\in R \), con \( b \geq 0 \), se tiene que
  si \( a \leq |b| \) y \( -a \leq b \) entonces \( |a| \leq b \).
  
  
• Dados \( a,b\in R \), vale la desigualdad: \( |a+b| \leq |a|+|b| \)
  
  Esta desigualdad se demuestra separando en los distintos casos posibles:
  
  • \( a \geq0,b \geq0 \)
  • \( a \geq0,b \leq0 \)
  • \( a \leq0,b \geq0 \)
  • \( a \leq0,b \leq0 \)
  y usando el primer ítem.
  
  
• Dados \( a,b\in R \), vale la desigualdad: \( ||a|-|b|| \leq |a-b| \).
  
  Esto se desprende del ítem anterior, puesto que:
  \( |a|=|a-b+b| \leq |a-b|+|b| \), de donde \( |a|-|b| \leq |a-b| \),
  y de modo similar se prueba \( |b|-|a| \leq |a-b| \).
  Finalmente se invoca el segundo ítem.
  
  

[cerrar]

Para entender cabalmente a los números reales, es conveniente estudiar una propiedad geométrica llamada propiedad arquimediana, y una propiedad topológica llamada convergencia de sucesiones de Cauchy.
La propiedad arquimediana nos dice que ningún número real puede ser ni demasiado grande, ni demasiado pequeño.
La propiedad de convergencia de sucesiones de Cauchy nos dice que si una sucesión se va apiñando cada vez, es que tiene límite.

En los siguientes spoilers vamos a dar las definiciones de estas propiedades para un cuerpo ordenado cualquiera, y más adelante demostraremos que estas propiedades se cumplen en el cuerpo de los números reales.

Propiedad Arquimediana

Supongamos que sólo sabemos que se cumplen los Axiomas 1, 2 y 3 para \( R \).
Sea \( N \) el subconjunto de números naturales de \( R \), que sabemos que existe.
Decimos que \( R \) es arquimediano, o que tiene la propiedad arquimediana,
si dados cualesquiera \( x,y\in R \), con \( x>0 \), existe un \( n\in N \) tal que \( n\cdot x>y \).

Si esta propiedad se cumpliera en un cuerpo ordenado \( R \), significaría que no importa qué tan grande se tome el elemento \( y \), siempre se lo puede "superar" multiplicando por algún número natural a algún \( x \) positivo prefijado, que podría ser tan pequeño como nos queramos imaginar.

Adjuntamos aquí un dibujo que ilustra la situación.
Los puntos \( x, y \), satisfacen la desigualdad \( 0<x<y \), y están marcados en color negro.
En color marrón se visualizan sucesivamente los puntos de la secuencia \( 1\cdot x,2\cdot x, 3\cdot x,... \).
Existe algún número natural \( n \) para el cual es posible "darle alcance" al elemento \( y \), sin importar qué tan alejado o grande sea \( y \).

[cerrar]

Sucesiones de Cauchy

Sea \( \{a_n\}_{n=1}^\infty \) una sucesión de elementos del cuerpo ordenado \( (R,+,\cdot,0,1, \leq) \).
Decimos que \( \{a_n\}_n \) es una sucesión de Cauchy si para todo \( \epsilon>0 \) existe algún \( n_0 \in N \) tal que, si \( m \geq n \geq n_0 \) entonces \( |a_n-a_m|<\epsilon \).

Intuitivamente, esto quiere decir que para índices \( n \) bastante grandes, cualquier par de elementos de la sucesión están muy cerca entre sí.
En un contexto genérico, podría ocurrir que una sucesión contenga elementos arbitrariamente cercanos entre sí, pero que la sucesión misma no converja a un límite específico.

[cerrar]

Las sucesiones de Cauchy se estudian por su íntima relación con las sucesiones que convergen a algún límite.
O sea, son una herramienta para el estudio de la convergencia de una sucesión.
En este sentido, tenemos una sencilla observación general, que vale en todo cuerpo ordenado:

Toda sucesión convergente en un cuerpo ordenado (R, +, 0,., 1, <) es de Cauchy

Sea \( \{x_n\}_{n=1}^\infty \) una sucesión de elementos del cuerpo ordenado \( R \).
Supongamos que la sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^\infty \) tiende a algún límite, digamos \( L \).
Deseamos probar que la sucesión satisface el criterio de Cauchy.

Por hipótesis, tenemos que para todo \( \epsilon>0 \) existe \( n_\epsilon \in N \) tal que si \( n \geq n_\epsilon \), entonces \( -\epsilon<L-x_n<\epsilon \). Vamos a tomar el mínimo \( n_\epsilon \) posible.
Definamos ahora \( \tilde n_\epsilon=n_{\epsilon/2} \), para cada \( \epsilon>0 \).
Tomemos índices \( m, n, \) tales que \( m  \geq n  \geq \tilde n_\epsilon. \) Escribimos:

\( -\epsilon/2<L-x_m<\epsilon/2,\qquad -\epsilon/2<x_n-L<\epsilon/2 \)

Sumando miembro a miembro nos queda:

\( -\epsilon<x_n-x_m<\epsilon, \)

probando que la sucesión \( \{x_n\}_n \) es de Cauchy.

Notemos que este hecho no depende del Axioma de la cota superior mínima.


Así que toda sucesión convergente es de Cauchy.
¿Es cierto que toda sucesión de Cauchy es convergente?
Esto es lo que debemos investigar.

[cerrar]

Podríamos en este momento dedicarnos a demostrar, sin más, que \( R \) satisface las propiedades arquimediana y de la convergencia de sucesiones de Cauchy.
Pero es más interesante demostrar que estas propiedades, juntas, son equivalentes al Axioma 4, o sea que podrían ponerse ellas en lugar del Axioma 4, resultando un sistema de axiomas equivalente para los números reales.

Proposición 1. Si en \( R \) vale la propiedad de la cota superior mínima entonces el subconjunto \( N \) de números naturales de \( R \) es no acotado.

Demostración

Supongamos que \( N \) está acotado superiormente por algún \( s\in R \).

Como los números naturales son positivos, debe ser \( s > 0 \), y además el conjunto de elementos \( n^{-1} \) estará acotado inferiormente por \( s^{-1} \), que es también positivo.
La sucesión \( \{a_n\}_{n=1}^\infty \), dada por \( a_n=n^{-1} \) es estrictamente decreciente.
Por el Teorema 3, parte (c), tal sucesión debe converger a un límite \( L \).
Este límite \( L \) es igual a \( 0 \), lo cual se puede probar de varias maneras, pero nosotros argumentaremos así:
Tomando \( n_k=2^k \) obtenemos la subsucesión \( \{b_k\}_{k=1}^\infty \), \( b_k=2^{-k} \).
Por ser subsucesión de \( \{a_n\}_n \), resulta que \( \lim_{k\to\infty}b_k=L \).
Pero hemos visto (al definir las nociones de límite) que, si la sucesión \( \{2^{-k}\}_k \) converge a un límite, dicho límite es \( 0 \), luego \( L =0 \).
Por lo tanto, \( \lim_{n\to\infty}n^{-1}=0. \)
Tomando ahora \( \epsilon=s^{-1} \), vemos que existe \( n_\epsilon\in N \) tal que \(  -\epsilon<a_{n_\epsilon}<\epsilon=s^{-1} \).
Pero esto contradice que \( s^{-1} \) es cota inferior para los elementos \( n^{-1},n\in N \).

La contradicción provino de suponer que \( N \) tenía alguna cota superior \( s \).

[cerrar]

Proposición 2. Si en \( R \) vale la propiedad de la cota superior mínima entonces \( R \) es arquimediano.

Demostración

Sean \( x,y\in R, x>0. \)

Si tuviésemos que \( y < x \), estaríamos en un caso trivial, porque el número natural \( n = 1 \) nos da que \( y< x\cdot1 \).
Así que estudiemos el caso restante, en que \( x \leq y \). En particular, tenemos que \( y>0 \), porque \( x \) es positivo.
Consideremos el conjunto de todos los números naturales \( n \) tales que \( n\cdot x \leq y \):

\( A=\{n\in N:n\cdot x \leq y\} \)

El conjunto \( A \) no puede ser todo \( N \), porque hemos visto en la Proposición 1 que \( N \) no está acotado superiormente en \( R \), si sabemos ya que vale la propiedad de la cota superior mínima.

Así que el conjunto \( B \) de los números naturales que no están en \( A \), es no vacío, y tiene un mínimo elemento, que llamaremos \( b \).
Por la mera definición de \( A \), y como \( b  \) no está en \( A \), tiene que cumplirse que \( n\cdot b>y \).

Nota: ¿Dónde se ha usado la propiedad de la cota superior mínima? Respuesta: en la Proposición 1, la cual ha sido invocada aquí.

[cerrar]

Proposición 3. Si en \( R \) vale la propiedad de la cota superior mínima entonces en \( R \) toda sucesión de Cauchy es convergente.

Demostración

Supongamos que vale el Axioma de la cota superior mínima, y probemos que toda sucesión de Cauchy converge a algún límite.

Para ello, sea \( \{x_n\}_{n=1}^\infty \) una sucesión de elementos de \( R \) que satisfacen la propiedad de Cauchy. Escribamos los detalles:

\( \forall{\epsilon>0}:[\exists{n_\epsilon\in N}:(n \geq m \geq n_\epsilon \Rightarrow{|x_n-x_m|<\epsilon})]. \)

Lo primero que deseamos probar es que dicha sucesión es acotada.
Podemos tomar algún valor de \( \epsilon \), por ejemplo \( \epsilon=1 \), y ahora usar el entero \( n_1 \) tal que \( n \geq m \geq n_1 \) implica \( |x_n-x_m|<\epsilon \).
Ahora bien. Definamos \( M = \max_{1 \leq j  \leq n_1} |x_j| \).
Obviamente, si \( m \leq n_1 \), entonces \( |x_m| \leq M \).
Y si \( m> n_1 \), entonces \( |x_m|=|x_m-x_{n_1}+x_{n_1}| \leq|x_m-x_{n_1}|+|x_{n_1}| \leq 1+M \).

Por lo tanto la sucesión es acotada, ya que todos sus elementos están en el intervalo \( J=[-M-1,M+1]. \)

En particular, toda subsucesión de \( \{x_n\}_n \) está acotada, tanto superior como inferiormente.
Esto significa que cada subsucesión tiene un ínfimo y un supremo (por las partes (a) y (b) del Teorema 3).
Trabajaremos con las subsucesiones que son "colas" de la sucesión original.
En tal caso denotemos \( a_n=\inf_{m \geq n}x_m,\quad b_n = \sup_{m \geq n} x_m.  \)

Como los extremos del intervalo \( J \) son cotas respectivamente inferiores y superiores de todas esas subsucesiones, naturalmente ocurre que \( a_n,b_n\in J. \) Más aún, tenemos que \( a_n  \leq b_n \), todo \( n=1,2,3,... \)
Como el conjunto \( \{x_m:m \geq n+1\} \) está incluido en el conjunto \( \{x_m:m \geq n\} \), parece claro que los respectivos ínfimos y supremos satisfacen las relaciones siguientes: \( a_n  \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n \).
Hemos probado que para todo \( n=1,2,3,... \), se cumple la inclusión de intervalos cerrados \( [a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}] \).

Como la propiedad de la cota superior mínima equivale al inciso (d) del Teorema 3, podemos afirmar ahora que la sucesión de intervalos \( \{[a_n,b_n]\}_{n=1}^\infty \) tiene intersección no vacía.
Supongamos que en dicha intersección hay dos elementos distintos \( s, t \), con \( s < t \).
Para todo \( n=1,2,3,... \), se tiene que \( a_n \leq s < t \leq b_n \).
Sea \( \epsilon = (t-s)/3 \).
Existe un índice \( n_\epsilon \) tal que \( n,m \geq n_\epsilon \) implica \( |x_n-x_m| < \epsilon \).
Además, existen índices \( m_1,m_2 \geq n_\epsilon \) tales que:
\( a_{m_1} \leq x_{m_1} < a_{m_1}+\epsilon \leq s+\epsilon < t-\epsilon \leq b_{m_2}<x_{m_2} \leq b_{m_2}. \)
Esto implica que \( x_{m_2}-x_{m_1}>\epsilon \), lo cual contradice la definición de \( n_\epsilon. \)
La contradicción viene de suponer que hay dos elementos diferentes \( s, t \) en la intersección de los intervalos.

Todo esto quiere decir que la intersección de todos los intervalos \( [a_n,b_n] \) tiene exactamente un solo elemento, que indicaremos con \( s \).
En particular, el elemento \( s \) pertenece a cada uno de los intervalos, y por lo tanto \( [a_n,s] \subset [a_n,b_n] \), y la intersección de la sucesión de intervalos cerrados \( [a_n,s] \) también es \( \{s\} \).
Jugando un poco con la definición de intervalo cerrado y las relaciones de monotonía, esto equivale a decir que la sucesión de intervalos cerrados \( \{[0,s-a_n]\}_n \) tiene intersección igual a \( \{0\} \).
Dado \( \delta>0 \), existe un entero positivo \( m_\delta \) tal que \( s-a_{m_\delta} < \delta \).
Si esto no fuese así, la intersección de los intervalos \( [0,s-a_n] \) contendría al intervalo \( [0,\delta] \), que no puede ser.
Pero como la sucesión \( \{a_n\}_n \) es monótona no decreciente, se tiene que \( s-a_n <\delta \) para todo \( n  \geq n_\delta \).

Esto prueba que la sucesión \( \{a_n\}_n \) tiene límite igual a \( s \).
De modo análogo se puede probar que la sucesión \( \{b_n\}_n \) tiene límite igual a \( s \).

Por otra parte, para cada \( n=1,2,3,... \) tenemos que \( a_n  \leq x_n  \leq b_n. \)
Debido a que la sucesión \( \{x_n\}_n \) está encajada entre dos sucesiones que convergen a un mismo límite \( s \), resulta que \( x_n \) también tiende al límite \( s \).

Hemos probado, pues, que la sucesión \( \{x_n\}_n \) tiene límite.

[cerrar]

En la teoría de números reales aparecen importantes caracterizaciones en términos del concepto de series.
Por ello, damos en el siguiente spoiler unas definiciones en torno a series y convergencia de las mismas:

Series, convergencia, convergencia absoluta

Definición. Sea \( \{a_n\}_{n=1}^\infty \) una sucesión de elementos de \( R \). Formemos las sumas parciales \( \displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n a_n \). La sucesión de sumas parciales \( \{s_n\}_{n=1}^\infty \) se llama serie asociada a la sucesión \( \{a_n\}_n \).
Un modo abreviado de denotar la serie anterior es mediante el símbolo:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n. \)

Nota: Esta simbología obedece sobretodo a tradiciones arrastradas de hace tiempo en los textos matemáticos.

Se dice que la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n \) converge a un límite \( L \) si la sucesión de sumas parciales \( \{s_n\}_n \) converge al límite \( L \).

En caso de convergencia, se escribe:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=L. \)

Sea \( \{a_n\}_n \) una sucesión de elementos cualesquiera de \( R \),
y sea \( \{v_n\}_n \) la sucesión asociada de valores absolutos, o sea, \( v_n=|a_n| \).
Supongamos que la serie \( \sum_{n=1}^\infty v_n \) converge a un límite \( L \).
En ese caso se dice que \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) tiene la propiedad de convergencia absoluta, o que es absolutamente convergente.
Esto no significa, necesariamente, que la serie \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) converja o no a algún límite. Para que converja se debe suponer algo más, por ejemplo la propiedad de convergencia de sucesiones de Cauchy.
Los detalles de esto los veremos en lo que sigue.

[cerrar]

Proposición 4. Supongamos que el cuerpo ordenado \( (R,+,\cdot,0,1, \leq) \) satisface la propiedad de que toda sucesión de Cauchy converge a algún límite. Entonces toda serie absolutamente convergente es también ella misma convergente.

Demostración

Sea \( \{a_n\}_n \) una sucesión en \( R \) tal que la serie \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) es absolutamente convergente.
Esto significa, por definición, que la serie de términos no negativos \( \sum_{n=1}^\infty|a_n| \) converge a un límite, digamos \( L \).

Sea \( \{t_n\}_{n=1}^\infty \) la sucesión de sumas parciales de esta última serie, o sea, \( t_n=\sum_{k=1}^n|a_k| \).
Definamos ahora la sucesión de sumas parciales \( s_n=\sum_{k=1}^n a_k \).
Para todo índice \( n \) se tiene la desigualdad \( |s_n| \leq t_n \), o sea:
\( |\sum_{k=1}^n a_k| \leq \sum_{k=1}^n |a_k| \),
lo cual es fácil de verificar.

Ahora bien. Sabemos que la sucesión \( \{t_n\}_n \) es convergente, y que por lo tanto es de Cauchy.
Sea \( \epsilon>0 \). Por la condición de Cauchy, tenemos que existe un índice \( N_\epsilon \) tal que si \( m \geq n \geq N_\epsilon \), entonces
\( \sum_{k=n+1}^m|a_k| = |t_m-t_n|<\epsilon \).
Esto implica inmediatamente que:
\( |s_m-s_n|=|\sum_{k=n+1}^m a_k| \leq \sum_{k=n+1}^m|a_k| <\epsilon \).
Esto demuestra claramente que la sucesión \( \{s_n\}_n \) es también de Cauchy.

Pero por hipótesis de la presente Proposición tenemos que \( \{s_n\}_n \) converge a un límite \( M \), por ser de Cauchy.
Pero esta sucesión es la de sumas parciales de la serie \( \sum_{n=1}^\infty a_n \), la cual ahora converge al límite \( M \).

[cerrar]

Corolario. Si en \( R \) vale la propiedad de la cota superior mínima, entonces toda serie que es absolutamente convergente es también ella misma una serie convergente.

Esto es obvio, ya que la propiedad de la cota superior mínima implica que toda sucesión de Cauchy es convergente,
y esto implica a su vez que toda serie que converge absolutamente es también convergente.

__________________

Ahora intentaremos demostrar resultados recíprocos de todos los anteriores, o sea, invertir el sentido de las implicaciones.
Vamos a pensar que "no sabemos" si vale la propiedad de la cota superior mínima,
y en cambio vamos a suponer que valen las propiedades arquimediana y/o de que toda sucesión de Cauchy converge.
En cada caso investigaremos las consecuencias generales que se deducen exclusivamente de esas propiedades.

Proposición 5. Si en un cuerpo ordenado \( (R,+,\cdot,0,1, \leq) \) vale la propiedad arquimediana, entonces las sucesiones \( \{n^{-1}\}_{n=1}^\infty \) y \( \{2^{-n}\}_{n=1}^\infty \) tienen límite. Más aún: la serie \( \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \) converge a 1.

Demostración

Sea \( \epsilon>0 \).
Por propiedad arquimediana existe un número natural \( n_\epsilon \) tal que \( n_\epsilon > \epsilon^{-1} \).
Luego, para todo \( n \geq n_\epsilon \) tendremos que \( 0<n^{-1} \leq n_\epsilon^{-1}<\epsilon \).
Esto demuestra que \( \lim_{n\to\infty}n^{-1}=0. \)

Además, como \( \{2^{-k}\}_k \) es una subsucesión de la anterior, también \( \lim_{k\to\infty}2^{-k}=0. \)


Sea ahora \( \{s_n\}_{n=1}^\infty \) la sucesión de sumas parciales de la serie \( \sum_{k=1}^\infty 2^{-k} \).
Se puede demostrar por inducción que:
\( s_n=\sum_{k=1}^n 2^{-k}=1-2^{-n} \).
Esta sucesión, pues, converge a 1, por el álgebra de los límites.
Pero esto significa que la serie \( \sum_{k=1}^\infty 2^{-k} \) converge a 1.

[cerrar]

Qué mejor que un ejemplo para mostrar la diferencia entre una sucesión de Cauchy y una sucesión que tiene límite, y así mostrar que conceptualmente no son la misma cosa.
O sea que, en general, en un cuerpo ordenado genérico, no se puede obtener la recíproca de la Proposición 3.
Para ello mostremos que en el cuerpo ordenado de los números racionales \( (Q,+,0,\cdot,1, \leq) \), existe una sucesión de Cauchy que no es convergente.
Detalles abriendo el siguiente spoiler:

Sucesión de aproximaciones racionales al número e

Antes que nada, recordemos que el cuerpo ordenado de los números racionales \( (Q,+,0,\cdot,1, \leq) \) satisface la propiedad arquimediana.
Esto junto a la Proposición 4 nos permite afirmar que \( \lim_{k\to\infty}2^{-k}=0. \)

Sea la sucesión de números racionales \( \{s_n\}_{n=0}^\infty \) definida por

\( s_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\frac1{k!}}. \)

Se puede demostrar por inducción que para todo número natural \( k \) vale la desigualdad \( 2^{k-1}  \leq \cdot k! \).
Usando esto, se comprueba que, para índices \( m, n \) tales que \( m  \geq n  \geq n_0 \) tenemos:

\( \displaystyle 0 \leq s_m-s_n  = \sum_{k=n}^{m-1}{\frac1{k!}} \leq \sum_{k=n_0}^{m-1}{\frac1{2^{k-1}}} \leq \sum_{k=n_0}^{\infty}{\frac2{2^{k}}}=2^{2-n_0}. \)

Como \( \lim_{k\to\infty}2^{-k}=0 \), quiere decir esto que
dado \( \epsilon \in Q \), \( \epsilon>0 \), existe un entero positivo \( n_\epsilon \) tal que \( 2^{2-n_0}<\epsilon \).
Esto, junto con los cálculos anteriores nos demuestra que la sucesión \( \{s_n\}_n \) es de Cauchy (en \( Q \)).

Supongamos que existe un número racional \( q \) que sea el límite de esa sucesión. Escribimos \( q=a/b \), con \( a\in Z, b\in N \). Obsérvese que si el límite de \( \{s_n\}_n \) existe, ha de ser positivo, así que podemos tomar \( a, b, \) positivos. También podemos tomar \( a, b, \) sin factores comunes, de modo que \( b \) es el mínimo entero positivo posible. A continuación, definimos
\( \displaystyle x = b!\cdot \left(q-\sum_{k=0}^b \frac 1{k!}\right)= b! \cdot\left(\frac ab-\sum_{k=0}^b \frac 1{k!}\right). \)

Obviamente, el número racional \( x \) es, además, entero.
Además \( x \) es el límite de \( \{b!\cdot(s_n-s_b)\}_{n=0}^\infty \).
Por ser \( \{s_n\}_{n} \) una sucesión creciente, el número \( x \) no puede ser negativo.
Finalmente, se tiene para \( k \geq b+1 \):
\( \displaystyle\frac{b!}{k!} \leq\frac 1{(b+1)^{k-b}}, \)
luego:
\( \displaystyle 0 \leq s_n - s_b  \leq \sum_{k=b+1}^\infty \frac1{(b+1)^k}\leq \sum_{k=1}^\infty \frac1{(b+1)^k}=\frac 1b \leq1. \)

Esto implica que el límite \( x \) ha de satisfacer \( 0 \leq x  \leq 1 \).
Pero como \( x \) es entero, necesariamente es \( x = 0 \) ó \( x =1 \).
El caso \( x = 1 \) sólo podría darse si \( b = 1 \), con lo cual \( q = s_1 = 2 \), lo cual es absurdo porque los restantes elementos de la sucesión \( \{s_n\}_n \) son mayores que \( 2 \), y así \( q \) también debe ser mayor que \( 2 \).
Así que sólo nos queda el caso \( x = 0 \), pero esto no puede ser porque significaría que \( q=s_b \), y sabemos que \( q \) ha de ser mayor que cualquier elemento de la sucesión \( \{s_n\}_n \).

Luego la sucesión \( \{s_n\}_{n=0}^\infty \) no tiene límite en el cuerpo ordenado \( Q \) de números racionales.

Nota: En realidad esta es la prueba de que el número \( e \) es irracional, y la hemos adaptado para este ejemplo de sucesiones de Cauchy.
La demostraciòn anterior la he extraído de Wikipedia: (Irracionalidad de e)

[cerrar]

Proposición 6. Si en un cuerpo ordenado cualquiera \( (R,+,\cdot,0,1, \leq) \) vale la propiedad arquimediana, entonces entre dos cualesquiera elementos \( x,y\in R \), \( x<y \), existe un \( z\in Q \) tal que \( x<z<y \), donde \( Q \) es el subconjunto de números racionales que existe en \( R \).

Demostración

Supongamos en primer lugar que \( 0 < x<y \).

Definamos \( \delta=2\cdot(y-x)^{-1} \).
Por Propiedad Arquimediana, existe \( n\in N \) tal que \( n=n\cdot1>\delta \).
Esto implica que \( n^{-1}<\delta^{-1}=(y-x)/2 \).

Observando que \( n^{-1}>0 \), una nueva aplicación de la Propiedad Arquimediana nos dice que existe \( m\in N \) tal que \( m\cdot n^{-1}>x \).
Supongamos además que \( m \) es el mínimo número natural que verifica esa desigualdad.
En cualquier caso se tiene que \( m-1 \geq0 \).

Por la minimalidad de \( m \), tenemos que \( 0 \leq (m-1)\cdot n^{-1} \leq x \).
Luego:
\( m\cdot n^{-1}=(m-1)\cdot n^{-1} +n^{-1} < x+(y-x)/2=(x+y)/2<y \).

Por lo tanto, el número \( z=m\cdot n^{-1} \) es un elemento de \( Q \) que satisface \( x<z<y \).

Ilustremos los pasos de esta demostración con un dibujo.
En color negro están los puntos \( x,y \). Entre ellos hay una "distancia" positiva, la cual se le ha denominado \( 2/\delta \). Los valores \( 1/\delta \) y \( 2/\delta \) se marcan en la recta numérica en color violeta.
El valor recíproco \( \delta \) se marca con un punto en color rojo.
A continuación, se puede hallar un número natural \( n \), en color verde, que es mayor que \( \delta \).
El valor \( 1/n \) se marca con un punto en color marrón, y es menor que \( 1/\delta \).
Ahora se procede a formar la secuencia de puntos \( 1/n, 2/n, 3/n, ... \), que, por propiedad arquimediana, ha de contener algún elemento \( m/n \) que sea estrictamente mayor que \( x \).
Todos estos puntos se marcan también en color marrón.
Si tal \( m \) es el mínimo posible, se tendrá que \( x<m/n<y \).
Se tiene, pues, un racional "viviendo" entre \( x \) e \( y \).

Consideremos ahora el caso en que \( x<y<0 \).
En ese caso, definimos \( x'=-y,y'=-x \), obteniendo \( 0<x'<y' \).
Según lo probado en el caso anterior, existe \( z'\in Q \) tal que \( x'<z'<y' \).
Definiendo \( z=-z' \) obtenemos que \( z\in Q \) y \( x<y<z \).


Supongamos ahora que \( x < 0 < y \).
Obviamente, el número racional \( z= 0 \) hace el trabajo.


Para el caso \( x=0<y \), invocamos la Proposición 4, que nos asegura que la sucesión \( \{n^{-1}\}_n \) tiene límite igual a \( 0 \). En cuyo caso, existe \( n \in N \) tal que \( 0< n^{-1} < y \), así que tomamos \( z=n^{-1} \).


El caso que falta es \( x<0=y \), el cual puede "reducirse" al caso anterior, poniendo \( x'=-y, y'=0 \), etc.

[cerrar]

Por último, estamos en condiciones de enunciar el siguiente importante resultado recíproco a las Proposiciones 2 y 3.

Proposición 7. Dado un cuerpo ordenado \( (R,+,0,\cdot,1, \leq) \), si tiene la propiedad arquimediana y además toda sucesión de Cauchy tiene límite, entonces se cumple la propiedad de la cota superior mínima.

Demostración

Vamos a demostrar que toda sucesión monótona acotada es de Cauchy.
Como por hipótesis toda sucesión de Cauchy converge, resultará que toda sucesión monótona y acotada converge.
Pero esto implicará que en \( R \) vale la propiedad de la cota superior mínima, debido a la equivalencia del inciso (c) del Teorema 3.

Sea, pues, \( \{a_n\}_{n=1}^\infty \) una sucesión acotada y no decreciente.
Deseamos probar que converge a algún límite \( L \).
Para ello, en virtud de las hipótesis de la Proposición, bastará probar que satisface el criterio de Cauchy.

Supongamos que la sucesión \( \{a_n\}_n \) no es de Cauchy.
En ese caso, existe \( \epsilon>0 \) tal que para todo \( N_0\in N \), existe algún par de índices \( m,n \) con \( m \geq n \geq N_0 \) de tal suerte que \( |a_m-a_n| \geq \epsilon \).
Pero como la sucesión es no-decreciente, podemos escribir \( a_m-a_n \geq \epsilon \).

Vamos a buscar una lista de índices adecuada, a través de una relación de recurrencia.
Tomamos en primer lugar \( N_1=1 \).
Existen índices \( m_1,n_1 \) tales que \( m_1 \geq n_1 \geq N_1 \), y satisfaciendo además \( a_{m_1}-a_{n_1} \geq \epsilon \).
Supongamos que hemos elegido índices \( N_1,m_1,n_1,N_2,m_2,n_2,...,N_k,m_k,n_k \).
Tomaremos \( N_{k+1}=m_k+1 \).
Luego elegimos \( m_{k+1},n_{k+1} \) de tal manera que se cumpla \( m_{k+1} \geq n_{k+1} \geq N_{k+1} \) y además \( a_{m_{k+1}}-a_{n_{k+1}} \geq \epsilon \).
Esto nos define por recurrencia ternas de índices \( N_k,m_k,n_k \), todo \( k = 1, 2,3,... \), con las siguientes propiedades:

• \( N_k \leq n_k \leq m_k<m_k+1=N_{k+1} \leq n_{k+1} \leq m_{k+1} \), todo \( k=1,2,3,... \)
• \( a_{m_{k}}-a_{n_{k}} \geq \epsilon \).

Consideremos ahora la subsucesión \( \{b_k\}_{k=1}^\infty \), dada por
\( b_{2r-1}=a_{n_r}, r=1,2,3,... \)
\( b_{2r}=a_{m_r}, r=1,2,3,... \)
O sea, los elementos de la sucesión son \( a_{n_1},a_{m_1},a_{n_2},a_{m_2}, ... \)
Observemos que esta nueva sucesión también es no-decreciente y acotada.

Tenemos que \( b_{r+1} -b_{1} = \sum_{j=1}^r (b_{j+1}-b_{j}) \), para todo \( r=1,2,3,... \)
Como la sucesión es no-decreciente, tenemos que \( b_{j+1}-b_{j} \geq 0 \). Así que:

\( \displaystyle\sum_{j=1}^r (b_{j+1}-b_{j})\geq \sum_{1  \leq j \leq r, j \textsf{\ impar}} (b_{j+1}-b_{j}) \geq \sum_{1  \leq j \leq r, j \textsf{\ impar}} \epsilon. \)

Poniendo \( r = 1+2s \), se obtiene que \( b_{2s+2} -b_{1}  \geq s\cdot \epsilon \), todo \( s=1,2,3,... \). Por lo tanto:

\( b_{2s+2} \geq s\cdot \epsilon+b_1 \).

Sea \( M \) una cota superior de la sucesión \( \{a_n\}_n \).
En particular, también \( M \) es una cota superior de la subsucesión \( \{b_n\}_n \).
Sea \( y=M-b_1. \) La propiedad arquimediana implica que existe un número natural \( \sigma \) tal que \( \sigma\cdot \epsilon>y \).
Haciendo \( s=\sigma \) en la desigualdad de más arriba, obtenemos:
\( b_{2\sigma+2} \geq \sigma\cdot \epsilon+b_1 > M \).

Pero esto contradice que \( M \) es cota superior de \( \{b_n\}_n \).

La contradicción provino de suponer que la sucesión \( \{a_n\}_n \) no es de Cauchy.

Por lo tanto, la sucesión \( \{a_n\}_n \) es de Cauchy, y por hipótesis, tiene límite.


Hemos demostrado que toda sucesión no decreciente y acotada en \( R \), es convergente.
Lo mismo puede hacerse con sucesiones no-crecientes.

Aplicando la equivalencia del inciso (c) del Teorema 3, resulta ahora que en \( R \) vale la propiedad de la cota superior mínima.

[cerrar]

Juntando las Proposiciones 2, 3 y 7, queda probado el siguiente resultado:

Teorema 4. Sea \( (R,+,\cdot,0,1, \leq) \) un cuerpo ordenado. En él se cumple la propiedad de la cota superior mínima si y sólo si se satisfacen estas dos propiedades a la vez: la propiedad arquimediana, y la de que toda sucesión de Cauchy es convergente.

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Hemos terminado nuestro tour por las propiedades equivalentes a la cota superior mínima en cuerpos ordenados.
Ha sido emocionante, ¿no? 

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Asumiendo ahora que vale el Axioma 4 o sus equivalentes, se pueden probar los resultados típicos de convergencia de series, por ejemplo:

• Si una serie \( \sum_n a_n \) converge, entonces \( \lim_{n\to\infty} a_n=0 \).
• Una serie \( \sum_n a_n \) tal que todos sus términos \( a_n \) son no negativos, o bien converge, o bien la sucesión de sus sumas parciales es no-decreciente y no-acotada (en este caso suele decirse que tiene límite infinito).
• Si \( \{a_n\}_n,\{b_n\}_n \) son sucesiones de números reales no negativos, tales que \( a_n \leq c b_n \), para algún número positivo \( c \), se dice que la serie \( \sum_n a_n \) está dominada por la serie \( \sum_n b_n \). En este caso se puede demostrar que: si la serie \( \sum_n b_n \) converge, entonces también la serie \( \sum_n a_n \) converge.

Ahora volvamos a los números reales.
En tal caso vale el Axioma 4, o cualquiera de las equivalencias dadas en el Teorema 3 o en el Teorema 4.
Pero el Teorema 4 nos dice ahora que en el sistema de números reales valen la propiedad arquimediana y la propiedad de que toda sucesión de Cauchy converge a un límite.
Esta última se suele denominar propiedad de completitud de Cauchy.

Recordemos que la gran virtud de la completez en sentido de Cauchy es que nos permite demostrar que una sucesión o una serie converge, sin necesidad de estipular previamente cuál es ese límite al cual converge.

[argentinator]

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.8. Propiedades estructurales de los Números Reales.

Teorema 5. Sea \( (R,+,.,0,1, \leq) \) un sistema que satisface los axiomas de los números reales, y sea \( (Q,+,.,0,1, \leq) \) su subsistema de números racionales (obtenido en el Teorema 2). En ese caso, todo número real \( x \) es el supremo de todos los números racionales que le preceden. En símbolos:

\( x=\textsf{supremo}\{q\in Q|q \leq x\} \).

Demostración

Consideremos el conjunto \( C_x=\{q\in Q|q \leq x\} \).
En primer lugar, hay que hacer la sencilla observación de que \( C_x \) es no vacío.
Podemos, por ejemplo, considerar el número \( x-1 \), y aplicar la Proposición 6 para obtener un número racional \( q \) tal que \( x-1<q<x \).

Ciertamente, el mismo \( x \) es una cota superior de \( C_x \).

Por el Axioma 4, existe una cota superior mínima de \( C_x \), a la que denotamos \( s \).
Por minimalidad, ciertamente es \( s \leq x \).

Supongamos por un rato que \( s < x \).
Por Proposición 6, habría un \( q\in Q \) tal que \( s<q<x \).
Pero entonces \( q \) pertenece a \( C_x \), y así \( s \) sería menor que un elemento \( q \) de \( C_x \), lo cual contradice que \( s \) es una cota superior de \( C_x \).

Por lo tanto, ha de ser \( s=x \), y así \( x \) es el supremo de \( C_x \).

[cerrar]

[argentinator]

Principal * N Z Q R C +


Subsección 4.9. Unicidad algebraica del Sistema de los Números Reales.

Teorema 6. Sean \( (R,+,.,0,1, \leq) \) y \( (\tilde R,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq) \) dos sistemas que satisfacen los axiomas de los números reales.
Entonces ambos sistemas son isomorfos entre sí.

Demostración (abrir desplegable)

Dejamos los detalles como ejercicio para el lector.

Podemos sin embargo adelantar que el isomorfismo puede definirse de la siguiente manera.
Por Teorema 2, resulta que existe un subconjunto \( Q \) de \( R \) tal que \( (Q,+,.,0,1, \leq) \) satisface los Axiomas de sistema de números racionales, y lo mismo podemos decir de un subconjunto \( \tilde Q \) de \( \tilde R \), dando lugar a un sistema de números racionales \( (\tilde Q,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq) \).
Pero entonces estos dos sistemas son isomorfos entre sí, tanto en forma algebaica como ordinal, como sabemos ya de la teoría de números racionales.
Denotamos con \( \iota :Q\to \tilde Q \) a un tal isomorfismo de números racionales.
Definimos una nueva función \( \nu:R\to \tilde R \) mediante:
\( \nu(a) = \iota (a), \) si \( a\in Q, \)
y hagamos
\( \nu(a) = \textsf{supremo}\{\iota(b)|b\in Q, b \leq a\}, \) si \( b\not\in Q. \)

El supremo debe entenderse en el sentido de \( \tilde R \).

Debido a que \( \iota(b)   \preccurlyeq\iota(a) \) (en el sistema \( \tilde R \)), resulta que \( \{\iota(b)|b\in Q, b \leq a\} \) es un subconjunto acotado de \( \tilde R \).
Además es no vacío, ya que entre \( a-1 \) y \( a \), por ejemplo, existe algún \( q\in Q \), gracias a la Proposición 6, y en particular esto prueba que hay algún \( q\in Q \) que es menor que \( a \).
Luego, el conjunto \( \{\iota(b)|b\in Q, b \leq a\} \) tiene un supremo (o cota superior mínima) en \( \tilde R \), y más aún, por totalidad del orden \(  \preccurlyeq \) sabemos que este supremo es único.
Así, la función \( \nu \) está siempre bien definida.

A continuación se debe probar que \( \nu \) es inyectiva y sobreyectiva.
La inyectividad se prueba con la ayuda de la Proposición 6: suponga que \( x<y \) y trate de probar que \( \nu(x) \preccurlyeq\nu(y) \), pero \( \nu(x)\neq \nu(y) \). Esto se podrá lograr mostrando que hay un elemento \( q\in Q \) estrictamente intercalado entre \( x \) é \( y \).
La sobreyectividad se prueba con ayuda del Teorema 5, y siguiendo más o menos estos pasos:

• tomar un elemento \( \beta\in\tilde R \),
• tomar todos los racionales \( \tilde q \) en \( \tilde Q \) menores o iguales que \( \beta \),
• tener en cuenta que todo número real es el supremo de todos los racionales que le preceden,
• luego tomar todas las recíprocas \( q=\iota^{-1}(\tilde q) \) de esos racionales, obteniendo ahora racionales de \( Q \),
• tomar el supremo en ellos para obtener un \( b\in R \),
• y finalmente demostrar que \( \nu(b)=\beta \) con algún argumento de supremos o de límites.

Ahora, con el isomorfismo \( \nu \) deberá el lector demostrar que los dos sistemas de números reales dados son isomorfos en todo sentido (algebraico, ordinal, y cualquier otra cosa que a uno se le pueda ocurrir).

[cerrar]

En particular, si dos sistemas \( (R,+,\cdot,0,1, \leq) \) y \( (\tilde R,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq) \) satisfacen los Axiomas de los números reales, entonces los conjuntos \( R \) y \( \tilde R \) tienen el mismo cardinal, pues el isomorfismo es una biyección entre ambos sistemas.


Dado que el cardinal de los números reales es el mismo, independientemente del modelo que se utilice para representarlos, vamos a postergar el estudio de dicho cardinal hasta el siguiente post, cuando desarrollemos la construcción por medio de sucesiones de dígitos del sistema de números reales.