Autor Tema: Grupo de los cuaterniones.

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15 Abril, 2012, 01:09 am
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Jorge

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Demostrar que todos los subgrupos del grupo de los cuaterniones son normales.

15 Abril, 2012, 01:41 am
Respuesta #1

Teón

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Hola:
Los ocho elementos del grupo de los cuaterniones, se los puede definir como:

\( \{-1,1,i,-i,j,-j,k,-k\} \)

Que cumple con las siguientes reglas:

\(
\begin{align*}
i^2&=-1\\
j^2&=-1\\
k^2&=-1\\
ij&=k\\
jk&=i\\
ki&=j\\
ji&=-k\\
kj&=-i\\
ik&=-j
\end{align*}
 \)

Teniendo en cuenta que los subgrupos propios, serán de orden 2 o 4, como el único de orden 2 es el centro.
Es suficiente con analizar los de orden 4, que son los de tipo

\( \left<{i}\right>\,,\left<{j}\right>\,,\left<{k}\right> \)

Con estos casos, es fácil comprobar que cualquier clase lateral izquierda es igual a su clase lateral derecha.
Por ejemplo:

\( j\left<i\right>=\left<-k\right>=\left<k\right>=\left<i\right>j \)

Saludos.


Eram quod es, eris quod sum.

15 Abril, 2012, 10:59 pm
Respuesta #2

J. H. Stgo

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La normalidad de los subgrupos de orden 4 es consecuencia directa de esto

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