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Subsección 4.10. Resolviendo ecuaciones algebraicas en el Sistema de Números Reales.

Consideremos, como siempre, un Sistema de Números Reales \( (R,+,\cdot,0,1, \leq) \) junto con su subsistema de números racionales \( (Q,+,\cdot,0,1, \leq) \).

Sea \( p(x) \) un polinomio \( p(x)=a_0+a_1\cdot x+...+a_n\cdot x^n \), donde los coeficientes \( a_0,a_1,...,a_n \) son elementos de \( Q \), y \( a_n\neq 0 \).
Supongamos además que existe una sucesión de números racionales \( \{q_k\}_{k=1}^\infty \) tales que \( \lim_{k\to\infty}q_k=0 \), y tal que la ecuación

\( p(x)=q_k \)

tiene solución, para todo \( k=1,2,3,... \)

Deseamos comprobar que la ecuación \( p(x)=0 \) tiene al menos una solución \( x\in R \).

Llevar a cabo esta tarea es posible, pero requiere un estudio detallado de la "continuidad" de las raíces de polinomios, y tener cuidado con el hecho de que un polinomio puede tener varias raíces distintas, lo cual exige ser precavidos acerca de cuáles raíces se toman o no para cada \( k=1,2,3,... \), para después proceder a buscar una raíz de \( p(x)=0 \) cuando \( k \) tiende a \( \infty \).

Sin duda que es un problema interesante, pero no lo voy a abordar en este lugar.
Si hay alguien interesado en esto, podemos abrir un hilo aparte, al que enlacemos desde este lugar, y hacemos todas las cuentas allí.



Demostraremos más adelante que el cardinal de los números reales es estrictamente más grande que el de los números racionales.
A su vez, el cardinal del conjunto de todos los números reales que son raíces de polinomios con coeficientes racionales
es numerable, de nuevo estrictamente más pequeño que el de los números reales.

Esto demuestra por sí solo que existen números reales que no son algebraicos, o sea, que no se obtienen como soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales.
Estos números se llaman trascendentes.

Demostrar que cierto número real es o no trascendente puede ser complicado.
Tan sólo nombremos a los ejemplos clásicos:

• \( \pi\approx{3.14159...} \): relación de la semicircunferencia a su diámetro. Es trascendente.
• \( e\approx{2.71828...} \): base de los logaritmos neperianos. Es trascendente.
• \( \phi\approx{1.618...} \): número o razón áurea. Es algebraico.
• \( \sqrt{2}\approx{1.4142...} \): longitud de la diagonal del cuadrado unitario: Es algebraico.

Hay muchas más cosas para decir y detallar de la teoría de números reales...
Pero quiero ponerle fin a todo esto de una vez.
Ya hemos tenido suficiente.
Lo importante es abrirnos camino en sus propiedades básicas, caracterización, y construcción de modelos.

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Subsección 4.11. Diversos métodos para construir Sistemas de Números Reales.



Hasta ahora hemos desarrollado la Teoría Axiomática de los números reales.
Como siempre, hacemos la pregunta de si existe algún objeto matemático que satisfaga esos axiomas.
La respuesta es afirmativa, mas para ello es menester construir un modelo.

No contentos con eso, vamos a estudiar varios modelos distintos.
La mayoría de ellos se apoya en un sistema de números racionales a partir del cual se lleva a cabo una construcción de algún tipo.
Esto es viable, porque ya sabemos que existen sistemas que verifican los axiomas de los números racionales.
O sea que la construcción tiene sentido.

También tenemos el método de definir operaciones directamente sobre un alfabeto de dígitos.
En este caso no es necesario apoyarse en los números racionales, pero sí que será necesario utilizar la maquinaria de los números naturales, por cuanto se trabajará indefectiblemente con sucesiones.

Finalmente se puede demostrar la existencia de un sistema de números reales invocando al continuo de la línea recta euclidiana.
Vale decir, a partir de los axiomas geométricos es posible obtener un sistema de números reales.
Aquí puede suscitarse alguna discusión, ya que uno podría poner primero los axiomas de los números reales y sobre ellos construir la geometría euclidiana...
Así lo hacía Hilbert, debido a que era su manera de reducir el problema de la consistencia de los axiomas de la geometría al de probar la consistencia de los axiomas de los números reales.
Aún así, vale la pena establecer paralelos entre ambos tipos de conceptos, después de todo la idea de "continuo" tiene que ver directamente con la representación de los números en la línea recta euclidiana.

En cada desplegable llevamos a cabo una construcción de un modelo diferente de sistema números reales, y basta hacer clic para ver los detalles.

En todo lo que sigue, supondremos que tenemos disponible un sistema de números racionales \( (Q,+,\cdot,0,1, \leq) \), y denotaremos con \( N \) y \( Z \) a sus correspondientes subsistemas de numeros naturales y números enteros.
 

Método de los intervalos encajados de números racionales.

Método de las sucesiones monótonas acotadas de números racionales.

Método de las Cortaduras de Dedekind.

Método de la completación métrica en el sentido de Cauchy

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Método de sucesiones formadas con un alfabeto finito de dígitos

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Método de coordenadas en la línea recta euclidiana

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