[Émilie.du]

Demostrar las siguientes relaciones del conmutador para la derivada de Lie: \( \left [ \mathcal{L}_{X},i_{Y}  \right ]=i_{\left [ X,Y \right ]} \) y \( \left [ \mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y \right ]=\mathcal{L}_{\left [ X,Y \right ]} \)

Hola, necesito ayuda con este problema. La verdad nosé si quiera como empezar.. Lo que tengo escrito es, si en coordenadas locales los campos de vectores \( X,Y \) tienen representaciones \( X = \displaystyle \sum_{i=i}^m X^i \frac{{\partial}}{{\partial y^i}},\ Y = \sum_{j=i}^m Y^j \frac{{\partial}}{{\partial y^j}} \), entonces el conmutador \( \left[ X,Y \right] = \displaystyle \sum_{j=1}^{m}\left ( \sum_{i=1}^{m}X^i\frac{\partial Y^j }{\partial y^i}-Y^i\frac{\partial X^j}{\partial y^i} \right )\frac{\partial }{\partial y^j} \)

obs: Leí que por definición \( \left[\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y \right]=\mathcal{L}_X \mathcal{L}_Y - \mathcal{L}_Y \mathcal{L}_X \)

de antemano, muchas gracias.
Saludos cordiales

[Luis Fuentes]

Hola

 Mira a partir de la página 97 del libro de Ivorra:

https://www.uv.es/ivorra/Libros/Geodif.pdf

Saludos.

[Émilie.du]

Gracias Luis por el apunte!

A ver, he intentado lo siguiente para demostar que \( \left [ \mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y \right ]=\mathcal{L}_{\left [ X,Y \right ]} \)

Sabemos que \( \mathcal{L}_XY=\left [ X,Y \right] \). Como \( X,Y \in \mathcal{X}(M) \), entonces sea \( Z \in \mathcal{X}(M) \). Entonces:

\( \left [ \mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y \right ](Z)=\mathcal{L}_X(\mathcal{L}_Y(Z))-\mathcal{L}_Y(\mathcal{L}_X(Z))=\mathcal{L}_X(\left [ Y,Z \right ]) -\mathcal{L}_Y(\left [ X,Z \right ])= \)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \left [ X,\left [ Y,Z \right ] \right ]-\left [ Y,\left [ X,Z \right ] \right ]=\left [ X,\left [ Y,Z \right ] \right ]+\left [ Y,\left [ Z,X \right ] \right ]= \)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -\left [ Z,\left [ X,Y \right ] \right ]=\left [ \left [ X,Y \right ],Z \right ]=\mathcal{L}_{\left [ X,Y \right ]}(Z) \)

\(  \Rightarrow \left [ \mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y \right ]=\mathcal{L}_{\left [ X,Y \right ]} \)

obs: He usado el hecho de que el corchete de Lie es anticonmutativo, además de la identidad de Jacobi, espero estén bien mis calculos.
Intentaré luego el otro caso que me falta. 

[Émilie.du]

Estoy intentado demostrar el otro caso, pero no entiendo la notación \( i_{Y} \) 

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy intentado demostrar el otro caso, pero no entiendo la notación \( i_{Y} \) 

Mira la página 116 y sucesivas del libro de Ivorra.

Saludos.