Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
En particular:
- Debes de cuidar la ortografía.
- No debes de poner el enunciado de un problema como una imagen adjunta. Por el contrario debes de teclearlo explícitamente en el mensaje.
Por esta vez te lo hemos corregido desde la administración.
Sea \( f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n \) continuamente diferenciable tal que existe \( c>0 \) tal que
\( |f(x)-f(y)|>c|x-y| \)
para todo \( x,y\in \mathbb{R}^n \). Muestra que:
a) \( f \)es inyectiva;
b) \( det(f'(x))\neq 0 \) para todo \( x\in \mathbb{R}^n \); y
c) \( f(\mathbb{R^n})=\mathbb{R^n} \). (Sugerencia: Como en la demostración del Teorema de la función inversa considera la función \( g(x)=|y-f(x)|^2 \).
¿Cómo podrías resolver la pregunta 9 aparatado b y c? Para la c como el determinante es diferente a cero, la matriz es invertible entonces puedo aplicar el teorema de la función inversa, pero no se me ocurre nada más.
Tengo algo de prisa. Un par de ideas:
b) Si el determinante del Jacobiano fuese cero habría un vector que mutliplicado por él sería nulo; equivalentemente una dirección \( \vec u \), sobre la cual la derivada direccional sería nula. Es decr:
\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{|f(x+hu)-f(x)|}{|hu|}=0 \)
Pero si aplicas que \( |f(x+hu)-f(x)|>c|x+hu-x \)| eso no es posible.
c) La aplicación sugerida tiene un mínimo sobre el cuál debe de anularse la diferencial. Esta si no me equivoco es:
\( 2f'(x)\cdot (y-f(x))=0 \)
dado que \( f'(x) \) es una matriz de determinante no nulo, eso implica que \( y-f(x)=0 \) y así \( f(x)=y \).
Saludos.
