[alexbd]

Buenas tardes,
Estamos haciendo cambios de bases y nos han explicado que para pasar la parte decimal de un entero a binario hay que ir multiplicando la parte decimal por 2 hasta que el decimal sea zero.
Adjunto un ejemplo:

Spoiler

\( 0,374 * 2 = 0,75 \)
\( 0,75 * 2 = 1,5 \)
\( 0,5 * 2 = 1,0 \)

[cerrar]

De manera que el numero 0,375 en binario sería el 0,011. Me gustaría saber cual es la demostración matemática, ¿me podríais ayudar?
Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

Buenas tardes,
Estamos haciendo cambios de bases y nos han explicado que para pasar la parte decimal de un entero a binario hay que ir multiplicando la parte decimal por 2 hasta que el decimal sea zero.
Adjunto un ejemplo:

Spoiler

\( 0,374 * 2 = 0,75 \)
\( 0,75 * 2 = 1,5 \)
\( 0,5 * 2 = 1,0 \)

[cerrar]

De manera que el numero 0,375 en binario sería el 0,011. Me gustaría saber cual es la demostración matemática, ¿me podríais ayudar?
Gracias.

Si tienes un número positivo \( x \) menor que \( 1 \) en binario:

\( x=0.a_1a_2a_3a_4\ldots_{2)}=a_1\cdot 2^{-1}+a_2\cdot 2^{-2}+a_3\cdot 2^{-3}+a_4\cdot 2^{-4}\ldots \) con \( a_i\in \{0,1\} \)

Cuando lo multiplicas por dos queda:

\( 2x=a_1.a_2a_3a_4\ldots_{2)}=a_1+a_2\cdot 2^{-1}+a_3\cdot 2^{-2}+a_4\cdot 2^{-3}+a_5\cdot 2^{-4}\ldots \)

De forma que:

\( a_1=\begin{cases} 1 & \text{si}& 2x\geq 1\\0 & \text{si}& 2x<1\end{cases} \)

De ahí el criterio que reiterado, va proporcionando los diferentes "decimales" (binariales  ).

Saludos.

[alexbd]

Hola

 Bienvenido al foro.

Buenas tardes,
Estamos haciendo cambios de bases y nos han explicado que para pasar la parte decimal de un entero a binario hay que ir multiplicando la parte decimal por 2 hasta que el decimal sea zero.
Adjunto un ejemplo:

Spoiler

\( 0,374 * 2 = 0,75 \)
\( 0,75 * 2 = 1,5 \)
\( 0,5 * 2 = 1,0 \)

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De manera que el numero 0,375 en binario sería el 0,011. Me gustaría saber cual es la demostración matemática, ¿me podríais ayudar?
Gracias.

Si tienes un número positivo \( x \) menor que \( 1 \) en binario:

\( x=0.a_1a_2a_3a_4\ldots_{2)}=a_1\cdot 2^{-1}+a_2\cdot 2^{-2}+a_3\cdot 2^{-3}+a_4\cdot 2^{-4}\ldots \) con \( a_i\in \{0,1\} \)

Cuando lo multiplicas por dos queda:

\( 2x=a_1.a_2a_3a_4\ldots_{2)}=a_1+a_2\cdot 2^{-1}+a_3\cdot 2^{-2}+a_4\cdot 2^{-3}+a_5\cdot 2^{-4}\ldots \)

De forma que:

\( a_1=\begin{cases} 1 & \text{si}& 2x\geq 1\\0 & \text{si}& 2x<1\end{cases} \)

De ahí el criterio que reiterado, va proporcionando los diferentes "decimales" (binariales  ).

Saludos.

Buenas,
Primero gracias por tu respuesta en el post.
Me ha surgido otra duda, para la parte que se encuentra a la izquierda de la coma nos hicieron la demostración del procedimiento aplicando el teorema de euclides y nos dijeron que para la parte decimal se podía usar una extensión de ese mismo teorema. Me gustaría saber si esa es la respuesta que has dado o si sería otra demostración.
Gracias por tu tiempo.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas,
Primero gracias por tu respuesta en el post.
Me ha surgido otra duda, para la parte que se encuentra a la izquierda de la coma nos hicieron la demostración del procedimiento aplicando el teorema de euclides y nos dijeron que para la parte decimal se podía usar una extensión de ese mismo teorema. Me gustaría saber si esa es la respuesta que has dado o si sería otra demostración.
Gracias por tu tiempo.

Pues no estoy seguro de como enfocar la prueba con algo análogo al Teorema de Euclides, francamente,

Lo que yo utilizo en general es que si tenemos un número en \( [0,1) \) entonces al mutliplicarlo por la base \( b \) obtenemos un número en \( [0,b) \). Su parte entera es la primera cifra "decimal" de ese número en base \( b \). Reiterando esa idea se van obteniendo las cifras decimales del número en base \( b \).

Saludos.

[alexbd]

Hola
Pues no estoy seguro de como enfocar la prueba con algo análogo al Teorema de Euclides, francamente,

Lo que yo utilizo en general es que si tenemos un número en \( [0,1) \) entonces al mutliplicarlo por la base \( b \) obtenemos un número en \( [0,b) \). Su parte entera es la primera cifra "decimal" de ese número en base \( b \). Reiterando esa idea se van obteniendo las cifras decimales del número en base \( b \).

Saludos.

Buenas,
Yo he estado mirando y tampoco encontraba la relacion, hablare con el profesor y le enseñare las dos demostraciones que me habeis dado a ver que le parece. Si me explica la demostración con el teorema de Euclides lo postearé aqui por si hay algún interesado.
Gracias por la respuesta.

[robinlambada]

Hola:
Se me ocurre que si tenemos un numero decimal exacto \( x \).

Si multiplicamos este por la potencia mínima de \( 2 \) tal que el producto sea entero, obtenemos otro \( y=2^k\cdot{}x\in{}\mathbb{N} \) tal que para otro \( p<k  \) ,  \( 2^p\cdot{}x\not\in{}\mathbb{N} \)

Podemos hacer la representación de \( y \) por división euclídea de \( y \) entre 2 sucesivamente como: \( y=a_o+2(a_1+2(a_2+2(a_3+\ldots+2(1+0))))\ldots) \)

con \( a_i \) los restos sucesivos de las divisiones entre 2. \( y=2^k\cdot{}x=a_o+a_12^1+a_22^2+\ldots+a_n2^n \)



Despejando \( x=a_o2^{-k}+a_12^{-k+1}+a_k2^0+\ldots+a_n2^{n-k} \)


Obteniendo \( x=(\overline{a_n\ldots a_k'a_{k-1}\ldots a_o})_2 \)

Saludos.