[LeidyCastell]

sean \( A= \begin{bmatrix}{-1}&{-2}&{-9}\\{-1}&{x}&{1}\\{-1}&{2}&{x^2}\end{bmatrix} \)

y \( b=\left[\begin{array}{ccc}{3}\\{1}\\{x}\end{array}\right] \)


1. Determine todos los valores de x ∈ R tales que A es invertible.
2. Determine todos los valores de x ∈ R para los cuales el sistema Ax=b tiene:
    2.1. Solucion unica.
    2.2. Infinitas soluciones.
    2.3. Ninguna solucion

[ingmarov]

Hola Leidy, bienvenida

Te ayudo con este

Haz la matriz aumentada y mediante operaciones con renglones encuentra la matriz escalonada. Lo que te quede en el último renglón es la clave de tu problema.

A mi me queda en el último renglón tercera columna :

\( (x^2+9)(x+2)-40 \)

Y el sistema tiene
-Una solución si este elemento es distinto de cero.
-Infinitas soluciones si este elemento y el de la cuarta columna (\( (x-3)(x+2)+8 \)) son cero simultaneamente (comparten raices). El rango de la matriz no aumentada y la aumentada son iguales
-No tiene solución para algún valor de x si el elemento de la tercera columna se anula mientras el de la cuarta columna no. En otras palabras para valores de x donde el rango de la matriz no aumentada es menor que el de la aumentada.

Saludos

[LeidyCastell]

Hola, tambien he llegado a ese resultado en el ultimo renglon, para hallar los valores de  \( x \) tales que \( A \) es invertible, es solamente despejando la \( x \) de \( (x^2 + 9) (x+2) - 40 \) ?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tambien he llegado a ese resultado en el ultimo renglon, para hallar los valores de  \( x \) tales que \( A \) es invertible, es solamente despejando la \( x \) de \( (x^2 + 9) (x+2) - 40 \) ?

Si, aunque esa ecuación te va a ser fea de resolver...

Saludos.

[Abdulai]

sean \( A= \begin{bmatrix}{-1}&{-2}&{-9}\\{-1}&{x}&{1}\\{-1}&{2}&{x^2}\end{bmatrix} \)

Segura que la matriz es esa y no  \( A= \begin{bmatrix}{-1}&{-2}&{-9}\\{-1}&{x}&{1}\\{1}&{2}&{x^2}\end{bmatrix} \)   ??

[LeidyCastell]

si, estaba mal la matriz pero no es como la que dijiste sino como

\( A \) =\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{-9}\\{-1}&{x}&{1}\\{-1}&{2}&{x^2}\end{bmatrix}

[LeidyCastell]

y en este caso me da en el ultimo renglon \( (x^2 - 9) \)

[Abdulai]

Ok, pero en el segundo tenés un \( x+2 \)

Los valores para los que se anula el determinante son \( x=\color{red}-2\color{black},-3,3 \)

------------------------

EDIT:
Mis disculpas, la raiz \( -2 \)  era en la matriz que puse yo.  Son  \( x=2,-3,3 \)

[LeidyCastell]

a mi me dio \( -3, 2 y 3  \)

[ingmarov]

a mi me dio \( -3, 2 y 3  \)

Sí Leidy esos son los valores

Para x distinto de esos valores, el sistema tiene solución única.

Para x=-3 tiene infinitas soluciones.El rango de la matriz no aumentada es igual al de la aumentada

Para x=3 ó x=2 el sistema no tiene soluciones. El rango de la no aumentada es menor que el rango de la aumentada.

En el último caso en la última linea te queda en la tercera y cuarta columna      0, k. Y recuerda esa matriz representa un sistema de ecuaciones, entonces el 0,k puedes escribirlo como,

\( 0x+0y+0z=k\qquad k\neq 0 \)

\( 0\neq k \)


Saludos