Hola
En que, por ejemplo para el caso a), si hago \( \omega = xdy \wedge dz+ydz \wedge dx+zdx \wedge dy \Rightarrow d\omega = 3\ dx \wedge dy \wedge dz \). Por lo tanto, aplicando el teo. de stokes, debe integrarse sobre \( \partial S^2({\mathbb{R}}) \), es decir:
\( \displaystyle \int_{\partial S^2({\mathbb{R}})} (xdy \wedge dz+ydz \wedge dx+zdx \wedge dy) = \int_{S^2({\mathbb{R}})} 3\ dx \wedge dy \wedge dz \)
Aquí es donde empiezo a complicarme, como \( S^2(\mathbb{R}) = \left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=r^2 \right \} \) entonces ...
Algún hint para seguir? u otra idea mejor?
Es que tienes que considerar la esfera sólida \( V(r)=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2\leq r^2\} \). Su frontera es la superficie de la esfera \( S^2(r) = \left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=r^2 \right \} \) .
Entonces el Teorema de Stokes lo aplicas así:
\( \displaystyle \int_{S^2(r)} (xdy \wedge dz+ydz \wedge dx+zdx \wedge dy) = \displaystyle \int_{\partial V(r)} (xdy \wedge dz+ydz \wedge dx+zdx \wedge dy) =\int_{V(r)} 3\ dx \wedge dy \wedge dz=3\int_{V(r)} \ dx \wedge dy \wedge dz \)
Pero \( \displaystyle\int_{V(r)} \ dx \wedge dy \wedge dz \) es el volumen de la esfera de radio \( r \).
Saludos.
Gracias Luis, una última duda..
Esta última integral del volumen de la esfera, se puede calcular en variedades, es decir: si considero \( h:V(r) \subset \mathbb{R}^3 \rightarrow V(r) \)
Spoiler
Como \( V(r) \subset \mathbb{R}^3 \) y \( dim(V(r))=3 \Rightarrow dV(r) = dx \wedge dy \wedge dz \)
la parametrización que cubre toda la variedad \( V(r) \) como \( h(u,v) = r(cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v)), r>0, u \in [0,2\pi], v\in (-\pi /2, \pi /2) \) se tendrá
\( \displaystyle dV(r) = \sqrt{EG-F^2} du \wedge dv = r^2 sin(v) du \wedge dv \Rightarrow \int_{V(r)} dV(r) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi}r^2 sin(v) du dv = 4\pi r^2 \), es decir, me da el área y no el volumen de la esfera
no entiendo que hago mal..
Pero si considero, \( \displaystyle h(R,u,v) = R(cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v)), 0<R\leq r, u \in [0,2\pi], v\in (-\pi /2, \pi /2) \Rightarrow \)
\( \displaystyle dV(r) = \sqrt{EG-F^2} du \wedge dv = R^2 sin(v) du\wedge dv \Rightarrow \int_{V(r)} dV(r) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} R^2 sin(v) dR du dv = 4/3 \pi r^3 \)
y por lo tanto \( \displaystyle \displaystyle \int_{S^2({\mathbb{R}})} (xdy \wedge dz+ydz \wedge dx+zdx \wedge dy) = 3\int_{V(r)} \ dx \wedge dy \wedge dz = 4\pi r^3 \)
Esto último que hice es correcto?
gracias por toda la ayuda,
Saludos.
