Hola tengo el siguiente problema, pero no es afín a los anteriores. Muchas gracias nuevamente por cada una de sus ayudas.
Sea \( \mathbb{R} \) el conjunto de los números reales. Exactamente tres de las siguientes diez colecciones de subconjuntos de \( \mathbb{R} \) son topologias. Identifiquelas y justifique su respuesta.
1) \( T_1 \) esta compuesta de \( \mathbb{R} \) ,\( \emptyset \) y todo intervalo \( (a,b) \) para números cualquiera a y b y con \( a<b \) Esta queda descartada obviamente.
2) \( T_2 \) esta compuesta de \( \mathbb{R} \), \( \emptyset \) y todo intervalo \( (-r,r) \) para cualquier número real positivo r
Aquí yo veo que se satisfacen todas las condiciones. El problema es que los que vienen son muy parecidos y yo no veo que dejen de cumplir ninguna de las 3 condiciones.
3) \( T_3 \) esta compuesta de \( \mathbb{R} \) ,\( \emptyset \) y todo intervalo \( (-r,r) \) para cualquier número racional positivo r
4) \( T_4 \) esta compuesta de \( \mathbb{R} \) ,\( \emptyset \) y todo intervalo \( [-r,r] \) para cualquier número racional positivo r
5) \( T_5 \) esta compuesta de \( \mathbb{R} \), \( \emptyset \) y todo intervalo \( (-r,r) \) para cualquier número irracional positivo r
6) \( T_6 \) esta compuesta de \( \mathbb{R} \) ,\( \emptyset \) y todo intervalo \( [-r,r] \) para cualquier número irracional positivo r
7) \( T_7 \) esta compuesta de \( \mathbb{R} \), \( \emptyset \) y todo intervalo \( [-r,r) \) para cualquier número real positivo r
8) \( T_8 \) esta compuesta de \( \mathbb{R} \) ,\( \emptyset \) y todo intervalo \( (-r,r] \) para cualquier número real positivo r
9) \( T_9 \) esta compuesta de \( \mathbb{R} \) ,\( \emptyset \) y todo intervalo \( [-r,r] \) y \( (-r,r) \) para cualquier número real positivo R. Está también la descarte. La interseccion no está en \( T_9 \)
10) \( T_10 \) esta compuesta de \( \mathbb{R} \), \( \emptyset \) y todo intervalo \( [-n, n] \) y \( (-r,r) \) para cualquier número real positivo R. Y cualquier número entero positivo n.
Mil gracias.
