Hola
Hola, tengo los siguientes dos problemas que nos dejo el profesor pero no nos ha enseñado prácticamente nada, entonces no tengo ni idea de como se resuelven. Agradezco a quien me pueda ayudar:
1) Sea \( (X,d) \) un espacio métrico y \( τ \) la topología inducida sobre \( X \)por \( d \). Sean \( Y \) un subconjunto de \( X \) y \( d_1 \) obtenida restringiendo \( d \) es decir, \( d_1 (a,b)=d(a,b) \) para toda \( a,b \) en \( Y \). Si \( τ_1 \)es la topología inducida sobre por \( d_1 \) y \( τ_2 \) es la topología del subespacio sobre Y (inducida por τ sobre X), demuestre que \( τ_1=τ_2 \)
La topología \( \tau_1 \) es aquella que tiene por abierto básicos las bolas:
\( B_Y(y_0,r)=\{y\in Y|d_1(y,y_0)<r\}=\{y\in Y|d(y,y_0)<r\}=B_X(y_0,r)\cap Y \) (*)
La topología \( \tau_2 \) es la que tiene por abiertos los abiertos de \( X \) intersecados con \( Y \).
Entonces:
- Por la igualdad (*) se deduce que todo abierto básico de \( \tau_1 \) es abierto de \( \tau_2 \) y por tanto \( \tau_1\subset \tau_2 \).
- Por otra parte todo abierto de \( Y \) con la topología \( \tau_2 \)es de la forma \( U\cap Y \) con \( U \) abierto en \( X \). Veamos que es abierto en \( \tau_1 \). Dado \( y_0\in U\cap Y \), por ser \( U \) abierto en \( X \) existe \( B_X(y_0,r)\subset U \). Entonces \( B_Y(y_0,r)=B_X(y_0,r)\cap Y\subset U\cap Y \).
2) Sea \( X \) un conjunto infinito y \( \mathbb{Q} \) el conjunto de los racionales, entonces existe una biyección \( f:X\longrightarrow{X\times{\mathbb{Q}}} \) concluya que se puede introducir en todo conjunto infinito una métrica sin puntos aislados.
La existencia de la biyección es por teoría de cardinalidad. Para cualquier conjunto infinito, \( card(A\times Q)=card(A). \)
Una vez que tenemos la biyección podemos considerar la métrica discreta \( d_0 \) en \( X \) y la usual \( d_u \) en \( \mathbb{Q} \) y definir la métrica:
\( d(x,x')=max(d_0(f_1(x),f_1(x')),d_u(f_2(x),f_2(x')) \)
Saludos.
