Hola a todos. Estoy estudiando la demostración del siguiente teorema, que se encuentra en el libro
Partial Differential Equations, cuyo autor es Lawrence C. Evans. Los pasos que no entiendo los pondré en rojo. De antemano agradezco su ayuda.
Teorema Sea \( U \subseteq \mathbb{R}^n \), abierto y acotado, con frontera \( C^1 \). Suponga que \( u \in{W^{k,p}(U)} \).
Si
\( k < \displaystyle\frac{n}{p} \),
entonces \( u\in{L^q(U)} \), donde \( \displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{p}-\displaystyle\frac{k}{n} \). Adicionalmente tenemos
\( \left\|{u}\right\| _{L^q(U)} \leq{} C \left\|{u}\right\| _{W^{k,p}(U)} \)
donde la constante \( C \) depende únicamente de \( k,p,n \) y \( U \).
Demostración: Siupongamos que \( k<\displaystyle\frac{n}{p} \). Entonces, como \( D^{\alpha}
\in{L^p(U)} \), para todo \( \left |{\alpha}\right |=k \), la desigualdad de Sobolev - Nirenberg - Gagliardo implica
¿Por qué? 
¿No debería la función \( u\in{C^{1}_{c}(\mathbb{R}^n)} \)? \( \left\|{D^{\beta}u}\right\| _{L^{p^{*}}(U)} \leq C \left\|{u}\right\| _{W^{k,p}(U)} \)
y luego \( u \in{W^{k-1,p^{*}}(U)} \)
¿Por qué?. Similarmente, encontramos que \( u \in{W^{k-2,p^{**}}(U)} \),
donde \( \displaystyle\frac{1}{p^{**}}=\displaystyle\frac{1}{p^{*}}-\displaystyle\frac{1}{n}= \displaystyle\frac{1}{p}-\displaystyle\frac{2}{n} \). Continuando, encontramos luego de \( k \) pasos que \( u \in{W^{0,q}(U)}=L^q(U) \), con \( \displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{p}-\displaystyle\frac{k}{n} \). El estimativo se obtiene de lo anterior.
En la demostración de este teorema cita el siguiente resultado:
Desigualdad de Sobolev - Nirenberg - Gagliardo
Supongamos \( 1 \leq p < n \). Existe una constante \( C \), que depende sólo de \( p \text{ y }
n \), tal que
\( \left\|{u}\right\| _{L^{p^{*}}(\mathbb{R}^n)} \leq C \left\|{Du}\right\| _{L^p(\mathbb{R}^n)} \)
para toda \( u \in{C_{c}^{1}(\mathbb{R}^n)} \), donde \( p^{*}:= \displaystyle\frac{np}{n-p} \).
Saludos
