[rufoke]

Hola necesito ayuda para resolver un ejercicio de matrices.
El ejercicio es:

Sea \( A = xy^t  \in\mathbb{M}_{nxn} (\mathbb{R}) \) con \( x,y\in\mathbb{R^n}  \) no nulos:
-Rango de A.
-Demostrar que existe \( \alpha\in\mathbb{R} \) tal que \( A^2 = \alpha A \).
-Probar que si  \( \alpha\neq{-1} \) entonces existe \( \beta\in\mathbb{R} \) tal que \( (I+A)^{-1}=I -\beta A \).
-Cacular la inversa de la matriz \( M = (m_{ij})\in\mathbb{M_{nxn}} (\mathbb{R}) \) definida por \( m_{ij}=4 \) si \(  i\neq{j} \) , \(  m_{ii}=5 \) ; \(  i,j =1,2...,n \)

Solo he podido resolver el primer apartado usando la propiedad del rango:
 \( rango(AB)\leq{rango(A)} \) y \( rango(AB)\leq{rango(B)} \)
 \( rango(x)=1={rango(y)}\Rightarrow{rango(A)=1} \)

A ver si alguien puede ayudarme.
Gracias.

edit: corregi el enunciado del 2º apartado

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

Hola necesito ayuda para resolver un ejercicio de matrices.
El ejercicio es:

Sea \( A = xy^t  \in\mathbb{M}_{nxn} (\mathbb{R}) \) con \( x,y\in\mathbb{R^n}  \) no nulos:
-Rango de A.

Nota que las filas de la matriz \( A \) son todas múltiplos de \( y^t \) (multiplicado por cada \( x_i \)).

-Demostrar que existe \( \alpha\in\mathbb{R} \) tal que \( A^2 = \alpha A \).

Dado que \( y^tx \) es una matriz \( 1\times 1 \), es decir, un número:

\( A^2=AA=xy^txy^t=(y^tx)xy^t \)

-Probar que si  \( \alpha\neq{-1} \) entonces existe \( \beta\in\mathbb{R} \) tal que \( (I+A)^{-1}=I -\beta A \).

Multiplica \( (I+A) \) por \( I-\beta A \).

-Cacular la inversa de la matriz \( M = (m_{ij})\in\mathbb{M_{nxn}} (\mathbb{R}) \) definida por \( m_{ij}=4 \) si \(  i\neq{j} \) , \(  m_{ii}=5 \) ; \(  i,j =1,2...,n \)

Usa el resultado anterior para \( x \) un vector formado por unos e \( y \) un vector formado por cuatros.

Saludos.

[rufoke]

Gracias por la ayuda.

Multiplica \( (I+A) \) por \( I-\beta A \).

He intentando hacer esa operacion y el resultado al que llego es \( (I+A)(I-\beta A)=I+A-\beta(A+\alpha A) \) pero no consigo sacar ninguna conclusión de ahí

[rufoke]

Gracias por la ayuda.

Multiplica \( (I+A) \) por \( I-\beta A \).

He intentando hacer esa operacion y el resultado al que llego es \( (I+A)(I-\beta A)=I+A-\beta(A+\alpha A) \) pero no consigo sacar ninguna conclusión de ahí

Vale ya lo he entendido y conseguí demostrar que \( \beta=1/(1+\alpha) \) pero no entiendo como puedo usar eso para resolver el ultimo apartado.

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por la ayuda.

Multiplica \( (I+A) \) por \( I-\beta A \).

He intentando hacer esa operacion y el resultado al que llego es \( (I+A)(I-\beta A)=I+A-\beta(A+\alpha A) \) pero no consigo sacar ninguna conclusión de ahí

Vale ya lo he entendido y conseguí demostrar que \( \beta=1/(1+\alpha) \) pero no entiendo como puedo usar eso para resolver el ultimo apartado.

Entiendo que has podido resolver el apartado (3) y concluir que:

\( (I+A)^{-1}=I-\dfrac{1}{1+\alpha}A \) con \( \alpha=y^tx \).         (*)

Entonces lo que indico es que si tomas \( x \) un vector formado por unos e \( y \) un vector formado por cuatros notes que \( A=xy^t \) es una matriz cuadrada formada toda por cuatros y \( A+I=M \) (la matriz indicada en el último apartado). Por tanto la fórmula (*) te da directamente su inversa.

Saludos.

[rufoke]

Entiendo que has podido resolver el apartado (3) y concluir que:

\( (I+A)^{-1}=I-\dfrac{1}{1+\alpha}A \) con \( \alpha=y^tx \).         (*)

Entonces lo que indico es que si tomas \( x \) un vector formado por unos e \( y \) un vector formado por cuatros notes que \( A=xy^t \) es una matriz cuadrada formada toda por cuatros y \( A+I=M \) (la matriz indicada en el último apartado). Por tanto la fórmula (*) te da directamente su inversa.

Saludos.

Perfecto! Me estaba complicando demasiado.

Muchas gracias!