Hola
¿Alguien pordría por favor ayudarme con este problema ?
Quiero saber si la solución que se me ocurrió es correcta o si me estoy equivocando en algún razonamiento, ya que en las soluciones lo resuelven de una manera distinta a la mía, el problema es el siguiente:
Sea \( V \) un espacio vectorial tal que \( Dim (V)= 3 \)
Sea \( T: V \rightarrow V \) lineal de la cual se sabe que existe un vector no nulo v de manera que:
\( T(v) = −v \) y además \( dim(Im(T − 4Id)) = 1. \)
Se considera la transformación lineal \( S \) definida por \( S = 2T^2 + 4T ^{-1} \)
(1) Pruebe que \( S \) es diagonalizable.
(2) Pruebe que \( S \) es invertible y halle los valores propios de \( S^{-1} \) y sus subespacios propios en función de los valores propios y los subespacios propios de \( S \).
Mi idea fue la siguiente:
Primero intento demostrar que \( T \) es diagonalizable.
De los datos saco que \( -1 \) y \( 4 \) son Valores propios de \( T \) y ademas se que la multiplicidad geometrica de \( 4 \) es \( 2 \). De esto tambien deduje que la multiplicidad algebraica de \( 4 \) es tambien \( 2 \). Por lo que pruebo que \( T \) es diagonalizable.
Ahora, como \( T \) es diagonalizable tambien lo es \( T^2 \) y sus valores propios son el cuadrado de los valores propios de \( T \).
Además como \( T \) es invertible \( T^{-1} \) tambien es diagonalizable y sus valores propios son el inverso de los de \( T \).
Con esto demuestro que \( S \) es diagonalizable y ademas es invertible ya que ningun valor propio de \( T \) es cero.
Para poder hallar los valores propios de \( S^{-1} \) y los subespacios estoy un poco perdido, no se si simplemente es sustituir en \( S = 2T^2 + T ^{-1} \) cada valor propio y asi obtener los de \( S \) y luego los de \( S ^{-1} \)
Saludos!
