Calcule el área del plano : \( \displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{y}{6}+\displaystyle\frac{z}{3}=1 \), contenida en el primer octante.
\( \displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{y}{6}+\displaystyle\frac{z}{3}=1 \) \( \Rightarrow{} \) \( 3x+2y+4z=12 \)
Parametrizamos el plano:
\( W(u,v)= \)\( (4u,6v,3-3u-3v) \)
La ecuación para calcular el área es:
\( A(s)= \)\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{} \)\( ||r_u \) X \( r_v|| \)\( dA \)
\( ||r_u \) X \( r_v|| \)\( =6\sqrt[ ]{29} \)
Mi duda que tengo es sobre los limites de integración porque mi profe puso estos:
\( 6\sqrt[ ]{29} \)\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-u} \)\( dvdu \)
nose porque el primer limite va de 0 a 1,y el otro tambien va de 0 a \( 1-u \) me podrían explicar como es que se obtuvo esos limites, de antemano gracias
La proyección sobre el plano Oxy de la porción de plano que te dan comprendida en el primer octante es el triángulo lo limitado en el primer cuadrante por la recta \( 3x + 2y = 12, x > 0, y > 0 \), o en términos de \( u\textrm{ y }v, 12u + 12v = 12 \;\Rightarrow{}\; u + v = 1, u > 0, v > 0 \).
Entonces la \( u \) puede variar de \( 0\textrm{ a }1 \), y para cada \( u,\textrm{ la }v\textrm{ de }0\textrm{ a }1 - u \).
Ahora que para hallar el área de ese triángulo, casi que compensa hallar la altura, distancia de \( (0, 0, 3)\textrm{ a la recta }\{3x + 2y = 12, z = 0\} \) por ejemplo, la base, distancia de \( (4, 0, 0)\textrm{ a }(0, 6, 0) \) siguiendo el mismo ejemplo, multiplicarlas y dividir por 2 ...
Saludos,
