Hola
Hola! A ver si me podéis dar alguna pista de como resolver esta cuestión:
Sea \( F \) un cuerpo finito y \( 0\neq{\alpha}\in{F} \). Prueba que existen elementos \( a,b \in{F} \) tales que \( 1+a^2-\alpha b^2 = 0 \).
No se me ocurre como relacionarlo, a ver si podéis ayudarme.
Gracias.
Si el cuerpo tiene característica dos entonces \( x^2=x \) para todo \( x\in F \) y así el resultado es trivial (basta tomar \( b=1 \) y \( a=\alpha-1 \)).
En otro caso \( F \) tiene un número impar \( n \) de elementos. El número de cuadrados perfectos es \( (n+1)/2 \): cada par de elementos \( (a,-a) \) no nulos tiene un mismo cuadrado y además está el cero.
La ecuación indicada equivale a que: \( (1+a^2)\alpha^{-1}=b^2 \).
Para cada cuadrado perfecto \( a^2 \), \( (1+a^2)\alpha^{-1} \) toma un valor distinto. Por tanto el conjunto de valores de \( (1+a^2)\alpha^{-1} \) tiene cardinal \( (n+1)/2 \) y así interseca al conjunto de cuadrados prefectos en al menos un elemento.
Saludos.
