Hola
Sea \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}_{+}} \) una función positiva y sea \( M=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3:y^2+z^2=f^2(x) \right \} \) la correspondiente superficie de revolución en \( \mathbb{R}^3 \).
Pruebe la fórmula de volumen \( \displaystyle vol(M)=2\pi \int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx \)
teo: El volumen m-dimensional de una m-variedad \( M \subseteq{\mathbb{R}^n} \) compacto y orientado es el número \( vol(M)=\displaystyle \int_M \partial M \)
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Considera la parametrización del cuerpo:
\( \phi(x,t)=(x,f(x)cos(t),f(x)sin(t)) con x\in [a,b],\quad t\in [0,2\pi] \)
e integra:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\|\phi_x\times \phi_t\|dtdx \)
Saludos.
