Hola a todos estoy trancado en el problema y no me doy cuenta como resolverlo.
MNL es un triángulo equilátero cuyo baricentro es K. Las rectas MK y NL se cortan en A y las rectas LK y MN en B. C es la circunferencia determinada por M, B y A. C´ es la circunferencia determinada por M, K y N. \( C´\;\cap{}\;C =\{M, D\} \). \( \Omega \) es una circunferencia de centro D que pasa por L. M’ y N’ son los inversos de M y N (respectivamente)respecto de \( \Omega \)
1. Prueba que el ángulo LM’N’ es recto.
2. Prueba que las circunferencias C y C´ son ortogonales.
Corregido el \( \LaTeX \)
A mi me resulta más sencillo empezar por el punto 2.
Los puntos \( A\textrm{ y }B \) son los puntos medios de los lados \( LN\textrm{ y }MN \) respectivamente. La circunferencia \( C \) tiene su centro \( O \) entonces en el punto medio del lado \( LM \), pues este punto equidista de los tres por los que pasa, siendo el radio es la mitad del lado.
Respecto a la circunferencia \( C' \), tenemos que \( \angle MKN = 120^\circ{} \). Si \( O' \) es el centro de esta circunferencia, tenemos que \( O' \) debe estar en la perpendicular por \( K\textrm{ al lado }MN \) y que el \( \angle MO'N \)es la mitad del suplementario de \( \angle MKN \), igual por tanto a \( 120^\circ{} \)
En consecuencia, \( \angle O'MO = 30^\circ{} + 60^\circ{} = 90^\circ{} \) y las circunferencias \( C\textrm{ y }C' \) son ortogonales.
Vamos ahora con el punto 1, que ya es inmediato. La circunferencia \( C \) pasa por \( D \), el centro de inversión, por lo que su inversa es una recta, que pasará por el punto \( L \), autoinverso por estar en \( \Omega \), y por el inverso \( M'\textrm{ de }M \). Es decir, es la recta \( LM \). La circunferencia \( C' \) también pasa por \( D \), por lo que se transforma en la recta \( M'N' \). Como las circunferencias son ortogonales y la inversión conserva los ángulos, los segmentos \( LM'\textrm{ y }M'N' \) también son ortogonales.
Saludos,
