Hola
Me ayudan con este ejercicio.
(1) Si \( X_n=[\displaystyle\frac{1}{n},1-\displaystyle\frac{1}{n}] \) , \( n\geq{3} \)
Determinar el \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{X_n} \)
Aquí dado que las X_n son conjuntos, supongo que te refieres al límite conjuntista. Dado que es una sucesión creciente de conjuntos, tal límite por definición es:
\( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{}X_n=\displaystyle\bigcup_{n\in \mathbb{N}}X_n=(0,1) \)
El contenido de izquierda a derecha es evidente.
Para el otro ten en cuenta que dado \( x\in (0,1) \) existe \( n_1 \) tal que \( \dfrac{1}{n_1}<x \) y \( n_2 \) tal que \( \dfrac{1}{n_2}<1-x \). Tomando\( n=max(n_1,n_2) \) comprueba que \( x\in [1/n,1-1/n] \).
(2) Calcular el \( Sup_{n}{X_n} \)
Si \( X_n:[0,1]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)
\( x\longrightarrow{X_n(x)}=\begin{cases} 2^nx & \text{si}& 0\leq{x}\leq{2^{-n}}\\1 & \text{si}& 2^{-n}\leq{x}\leq{1}\end{cases} \)
Ten en cuenta que si \( x\in [0,2^{-n}] \) entonces \( 2^nx<2^n2^{-n}=1 \). Es decir la función toma valores en \( [0,1] \).
Ahora para cualquier \( x>0 \) existe un \( n_0 \) tal que \( 2^{-n}<x \) para \( n>n_0 \), y por tanto \( X_n(x)=1 \) para \( n\geq n_0 \).
Por otra parte \( X_n(0)=0 \) para todo \( n \).
El supremo es por tanto la función... termina...
Saludos.
