[Arkhé]

Hola buenas,

A partir de la Proposición:  Sea la aplicación lineal \( f: (E+·) \longrightarrow{}(F+·) \) entre espacios vectoriales. Entonces:

\( f \) es una aplicación lineal inyectiva, o monomorfismo, si y sólo si  \( Ker f=\left\{{0}\right\}\subset{}E \)

Se me pide:

a) Demostrar la proposición.
b) Demostrar que si \( f_1 \) y \( f_2 \) son monomorfismos, entonces \( f_1+f_2 \) es monomorfismo.
c) Demostrar que si \( f_1 \) es monomorfismo, entonces \( \alpha f_1 \) es monomorfismo.
d) Demostrar que si \( f \) y \( g \) son monomorfismos, entonces \( g\circ{f(\vec{u})}=g(f(\vec{u})) \), para cualquier \( \vec{u}\in{}E \), es monomorfismo.


Sólo he podido solucinar el a), del siguiente modo:

Para cualquier par de vectores \( \vec{u_1}, \vec{u_2}\in{}E \) se tiene:

\( f(\vec{u_1})=f(\vec{u_2})\Longleftrightarrow{}f(\vec{u_1})-f(\vec{u_2})=0\Longleftrightarrow{}f(\vec{u_1}-\vec{u_2})=0\Longleftrightarrow{}\vec{u_1}-\vec{u_2}\in{}Ker f \).

Por tanto,  \( Ker f=\left\{{0}\right\}\Longleftrightarrow{}\vec{u_1}=\vec{u_2} \).

Las siguientes demostraciones no sé cómo realizarlas.

¿Podríais ayudarme?

Gracias y saludos.

[Fernando Revilla]

Para cualquier par de vectores \( \vec{u_1}, \vec{u_2}\in{}E \) se tiene:
\( f(\vec{u_1})=f(\vec{u_2})\Longleftrightarrow{}f(\vec{u_1})-f(\vec{u_2})=0\Longleftrightarrow{}f(\vec{u_1}-\vec{u_2})=0\Longleftrightarrow{}\vec{u_1}-\vec{u_2}\in{}Ker f \).
Por tanto,  \( Ker f=\left\{{0}\right\}\Longleftrightarrow{}\vec{u_1}=\vec{u_2} \).

Es correcto.

b) Demostrar que si \( f_1 \) y \( f_2 \) son monomorfismos, entonces \( f_1+f_2 \) es monomorfismo.

Es que no es cierto en general. Por ejemplo, para \( E=F \), \( f_1=I \) y \( f_2=-I \) tenemos que \( \ker f_1=\{0\} \), \( \ker f_2=\{0\} \) y sin embargo \( \ker( f_1+f_2)=E \).

c) Demostrar que si \( f_1 \) es monomorfismo, entonces \( \alpha f_1 \) es monomorfismo.

Es cierto si \( \alpha\ne 0 \): \( \ker (\alpha f_1)=\{u\in E:(\alpha f_1)(u)=0\}=\{u\in E:\alpha f_1(u)=0\}=\{u\in E:f_1(u)=0\}=\ker f_1=\{0\} \).

d) Demostrar que si \( f \) y \( g \) son monomorfismos, entonces \( g\circ{f(\vec{u})}=g(f(\vec{u})) \), para cualquier \( \vec{u}\in{}E \), es monomorfismo.

Tenemos \( u\in \ker (g\circ f)\Rightarrow (g\circ f)(u)=0\Rightarrow g[f(u)]=0\underbrace{\Rightarrow}_{g\text{ monom.}}f(u)=0\underbrace{\Rightarrow}_{f\text{ monom.}}u=0\Rightarrow{\ker (g\circ f)=\{0\}}. \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola buenas,

A partir de la Proposición:  Sea la aplicación lineal \( f: (E+·) \longrightarrow{}(F+·) \) entre espacios vectoriales. Entonces:

\( f \) es una aplicación lineal inyectiva, o monomorfismo, si y sólo si  \( Ker f=\left\{{0}\right\}\subset{}E \)

Ahí falta lo que he añadido en rojo.

Saludos.

[Arkhé]

Perfectamente claro Fernando. Mil gracias.

Tienes razón Luis. Ahora lo cambio.

Saludos.