[enrique-akatsuki]

Dada la funcion:

\( P (x,y) \)\( = sen \displaystyle\frac{\pi }{6}(x+y) \)

Compruebe que se cumple la igualdad:

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{} \)\( \frac{{\partial P}}{{\partial x}}dxdy \) \( = \) \( \displaystyle\int_{dD}^{} \) \( P dy \)

a)en donde la curva \( \partial D \) es la curva formada por la linea recta que va del origen \( O(0.0) \) al punto \( P(2,1) \) y luego de la recta que va de \( P \) el punto \( Q(1,2) \) y finalmente del segmento rectilíneo que va de \( Q \) al origen \( O \).

b)mientras que \( D \) es la region plana constituida por el triangulo con vertices \( O,P  \) y \( Q \)

[robinlambada]

Hola.

Dada la funcion:

\( P (x,y) \)\( = sen \displaystyle\frac{\pi }{6}(x+y) \)

Compruebe que se cumple la igualdad:

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{} \)\( \frac{{\partial P}}{{\partial x}}dxdy \) \( = \) \( \displaystyle\int_{dD}^{} \) \( P dy \)

a)en donde la curva \( \partial D \) es la curva formada por la linea recta que va del origen \( O(0.0) \) al punto \( P(2,1) \) y luego de la recta que va de \( P \) el punto \( Q(1,2) \) y finalmente del segmento rectilíneo que va de \( Q \) al origen \( O \).

b)mientras que \( D \) es la region plana constituida por el triangulo con vertices \( O,P  \) y \( Q \)

Se trata solo de calcular las integrales indicadas.

Para poder ayudarte, dinos que has intentado y que no entiendes o donde te quedaste atascado.

Saludos.

[enrique-akatsuki]

E hecho esto pero nose si esta bien, me gustaría que le dieras un vistazo.

Grafique el triangulo y encontré las ecuaciones de las rectas:

Del punto \( O(0,0) \) a \( P(2,1) \) es \( y=\displaystyle\frac{1}{2}x \)

Del punto \( P(2,1) \) a \( Q(1,2) \) es \( y=-x+1 \)

Del punto \( Q(1,2) \) a \( O(0,0) \) es \( y=2x \)

Parametrize cada recta:

\( \alpha _1 \)\( (t) \)\( = \)\( (t,\displaystyle\frac{1}{2}t) \) de \( 0\leq{t} \)\( \leq{2} \)


\( \alpha _2 \)\( (t) \)\( = \)\( (t,-t+1) \) de \( 2\leq{t} \)\( \leq{1} \)


\( \alpha _3 \)\( (t) \)\( = \)\( (t,2t) \) de \( 1\leq{t} \)\( \leq{0} \)

Use después la integral:

\( \displaystyle\int_{dD}^{} \)\( Pdy \)

Curva 1

\( \displaystyle\int_{0}^{2} \) \( sen \displaystyle\frac{\pi }{6}(x+y)dy \) \( = \) \( \displaystyle\frac{1}{2} \)\( \displaystyle\int_{0}^{2} \)\( sen\displaystyle\frac{\pi}{6} \)\( (t+\displaystyle\frac{t}{2}) \)
\( dt \)\( = \)\( \displaystyle\frac{1}{2} \)\( \displaystyle\int_{0}^{2} \)\( (\displaystyle\frac{1}{2}) \)\( (\displaystyle\frac{3}{2}t) \)\( dt \)\( = \)\( \displaystyle\frac{1}{2} \)\( \displaystyle\int_{0}^{2} \)\( \displaystyle\frac{3}{4}t \)\( dt \)\( = \)\( \displaystyle\frac{3}{4} \)

Curva 2

\( \displaystyle\int_{2}^{1} \)\( sen \displaystyle\frac{\pi}{6} \)\( (t-t+1) \)\( dt \)\( = \)\( -\displaystyle\int_{2}^{1} \)\( sen\displaystyle\frac{\pi}{6} \)\( dt \)\( = \)\( -\displaystyle\frac{1}{2} \)\( \displaystyle\int_{2}^{1} \)\( dt \)\( = \)\( \displaystyle\frac{1}{2} \)

Curva 3

\( 2\displaystyle\int_{0}^{2} \)\( sen\displaystyle\frac{\pi}{6}(t+2t) \)\( dt \)\( = \)\( 2\displaystyle\int_{0}^{2} \)\( sen\displaystyle\frac{\pi}{6} \)\( (3t) \)\( dt \)\( = \)\( 2\displaystyle\int_{0}^{2} \)\( \displaystyle\frac{3}{2} \)\( tdt \)\( = \)\( 6 \)

Sumamos el resultados de las 3 curvas, por lo tanto esto es igual a: \( \displaystyle\frac{29}{4} \)

solamente e hecho esto pero nose si esta bien, y mi duda también es que nose como plantear la otra integral para ver que si se cumple la igualdad, de antemano gracias

[Luis Fuentes]

Hola

E hecho esto pero nose si esta bien, me gustaría que le dieras un vistazo.

Grafique el triangulo y encontré las ecuaciones de las rectas:

Del punto \( O(0,0) \) a \( P(2,1) \) es \( y=\displaystyle\frac{1}{2}x \)

Del punto \( P(2,1) \) a \( Q(1,2) \) es \( y=-x+1 \)

No. Sería \( y=-x+3 \).

Del punto \( Q(1,2) \) a \( O(0,0) \) es \( y=2x \)

Parametrize cada recta:

\( \alpha _1 \)\( (t) \)\( = \)\( (t,\displaystyle\frac{1}{2}t) \) de \( 0\leq{t} \)\( \leq{2} \)


\( \alpha _2 \)\( (t) \)\( = \)\( (t,-t+1) \) de \( 2\leq{t} \)\( \leq{1} \)

Pero la condición \( 2\leq t\leq 1 \) no tiene sentido, \( 2 \) no es más pequeño que \( 1 \).

Toma:

\( \alpha_2(t)=(2-t,t+1) \) con \( 1\leq t\leq 2 \)

\( \alpha _3 \)\( (t) \)\( = \)\( (t,2t) \) de \( 1\leq{t} \)\( \leq{0} \)

Aquí mismo error. Toma:

\( \alpha_3(t)=((1-t),2(1-t)) \) con \( 0\leq t\leq 1 \)

Use después la integral:

\( \displaystyle\int_{dD}^{} \)\( Pdy \)

Curva 1

\( \displaystyle\int_{0}^{2} \) \( sen \displaystyle\frac{\pi }{6}(x+y)dy \) \( = \) \( \displaystyle\frac{1}{2} \)\( \displaystyle\int_{0}^{2} \)\( sen\displaystyle\frac{\pi}{6} \)\( (t+\displaystyle\frac{t}{2}) \)
\( dt \)\( = \)\( \displaystyle\frac{1}{2} \)\( \displaystyle\int_{0}^{2} \)\( (\displaystyle\frac{1}{2}) \)\( (\displaystyle\frac{3}{2}t) \)\( dt \)\( = \)\( \displaystyle\frac{1}{2} \)\( \displaystyle\int_{0}^{2} \)\( \displaystyle\frac{3}{4}t \)\( dt \)\( = \)\( \displaystyle\frac{3}{4} \)

Curva 2

\( \displaystyle\int_{2}^{1} \)\( sen \displaystyle\frac{\pi}{6} \)\( (t-t+1) \)\( dt \)\( = \)\( -\displaystyle\int_{2}^{1} \)\( sen\displaystyle\frac{\pi}{6} \)\( dt \)\( = \)\( -\displaystyle\frac{1}{2} \)\( \displaystyle\int_{2}^{1} \)\( dt \)\( = \)\( \displaystyle\frac{1}{2} \)

Curva 3

\( 2\displaystyle\int_{0}^{2} \)\( sen\displaystyle\frac{\pi}{6}(t+2t) \)\( dt \)\( = \)\( 2\displaystyle\int_{0}^{2} \)\( sen\displaystyle\frac{\pi}{6} \)\( (3t) \)\( dt \)\( = \)\( 2\displaystyle\int_{0}^{2} \)\( \displaystyle\frac{3}{2} \)\( tdt \)\( = \)\( 6 \)

Sumamos el resultados de las 3 curvas, por lo tanto esto es igual a: \( \displaystyle\frac{29}{4} \)

En las integrales, estás trabajando con:

\( sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot (x+y) \)

en lugar de con:

\( sin\left(\dfrac{\pi}{6}\cdot (x+y)\right) \)

solamente e hecho esto pero nose si esta bien, y mi duda también es que nose como plantear la otra integral para ver que si se cumple la igualdad, de antemano gracias

Para integrar en el triángulo (haz un dibujo) divide los límites en:

\( 0\leq x\leq 1,\qquad x/2\leq y\leq 2x \)

y

\( 1\leq x\leq 2,\qquad x/2\leq 3-y \)

Saludos.

[enrique-akatsuki]

muchas gracias Luis Fuentes