Hola
Veamos si no me confundo esta vez.
Tenemos:
\( Eu(aX+(1-a)Y)=\displaystyle\int\displaystyle\int u(ax+(1-a)y)f(x,y)dxdy \)
siendo \( f(x,y) \) la función de densidad de la distribución conjunta de \( X \) e \( Y \).
Por ser \( u \) cóncava:
\( u(ax+(1-a)y)\geq au(x)+(1-a)u(y) \)
Entonces teniendo en cuenta que la función de densidad es siempre positiva:
\( Eu(aX+(1-a)Y)\geq \displaystyle\int\displaystyle\int (au(x)+(1-a)u(y))f(x,y)dxdy=\displaystyle\int\displaystyle\int au(x)f(x,y)dxdy+\displaystyle\int\displaystyle\int (1-a)u(y)f(x,y)dxdy=aEu(x)+(1-a)Eu(y) \)
Saludos.
