[manooooh]

Hola a todos! El enunciado está adjunto en la imagen.




Punto a):

Falso.
\( D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \)
\( D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \)
Luego \( \boxed{\left |{H \cap{} K}\right | = \{1, 2, 3, 6\}} \).

Punto b):

Verdadero.
\( 66 = 2 \cdot{} 3 \cdot{} 11 \), y como cada primo se repite una sola vez \( \Rightarrow{} \boxed{D_{66} \textrm{ es red distributiva y complementada}} \).


¿Pueden corregirme si hay algo mal por favor?

Gracias!!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos! El enunciado está adjunto en la imagen.




Punto a):

Falso.
\( D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \)
\( D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \)
Luego \( \boxed{\left |{H \cap{} K}\right | = \{1, 2, 3, 6\}} \).

Punto b):

Verdadero.
\( 66 = 2 \cdot{} 3 \cdot{} 11 \), y como cada primo se repite una sola vez \( \Rightarrow{} \boxed{D_{66} \textrm{ es red distributiva y complementada}} \).


¿Pueden corregirme si hay algo mal por favor?

Está todo bien... aunque quizá en el primero cabría matizar algo.

El Teorema de Lagrange nos dice que el orden de \( |H\cap K| \) es divisor del orden de \( H \) y del orden \( K \). Por tanto el Teorema de Lagrange aplicado a nuestro caso nos permite afirmar que los posibles órdenes de \( H\cap K \) son \( \{1,2,3,6\} \).

Pero no nos permite afirmar (por si sólo) que necesariamente haya ejemplos donde se alcancen esos órdenes. Entonces para si quieres justificar rigurosamente que todos esos órdenes son posibles y por tanto que no es cierto lo que dice el enunciado de que sólo son posibles \( 2 \) y \( 3 \) debes de dar ejemplos concretos donde \( |H|=18 \), \( |K|=24 \)  y \( |H\cap K| \) sea \( 1 \) ó 6.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Hola a todos! El enunciado está adjunto en la imagen.




Punto a):

Falso.
\( D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \)
\( D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \)
Luego \( \boxed{\left |{H \cap{} K}\right | = \{1, 2, 3, 6\}} \).

Punto b):

Verdadero.
\( 66 = 2 \cdot{} 3 \cdot{} 11 \), y como cada primo se repite una sola vez \( \Rightarrow{} \boxed{D_{66} \textrm{ es red distributiva y complementada}} \).


¿Pueden corregirme si hay algo mal por favor?

Está todo bien... aunque quizá en el primero cabría matizar algo.

El Teorema de Lagrange nos dice que el orden de \( |H\cap K| \) es divisor del orden de \( H \) y del orden \( K \). Por tanto el Teorema de Lagrange aplicado a nuestro caso nos permite afirmar que los posibles órdenes de \( H\cap K \) son \( \{1,2,3,6\} \).

Pero no nos permite afirmar (por si sólo) que necesariamente haya ejemplos donde se alcancen esos órdenes. Entonces para si quieres justificar rigurosamente que todos esos órdenes son posibles y por tanto que no es cierto lo que dice el enunciado de que sólo son posibles \( 2 \) y \( 3 \) debes de dar ejemplos concretos donde \( |H|=18 \), \( |K|=24 \)  y \( |H\cap K| \) sea \( 1 \) ó 6.

Saludos.

Hola, debería haber puesto "Sean \( H \) y \( K \) subgrupos de un grupo finito \( G \) tales que \( \left |{H}\right | = 18 \) y \( \left |{K}\right | = 24 \)". Luego hago lo mismo que hice pero sólo poniendo como órdenes 1 y 6... ¿por ejemplo? ¿Podría haber elegido sólo el orden 1? ¿O 1 y 6? ¿O 1 y 3? Entiendo que querés decir que no necesariamente la intersección cumple con todos y cada uno de los órdenes.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, debería haber puesto "Sean \( H \) y \( K \) subgrupos de un grupo finito \( G \) tales que \( \left |{H}\right | = 18 \) y \( \left |{K}\right | = 24 \)". Luego hago lo mismo que hice pero sólo poniendo como órdenes 1 y 6... ¿por ejemplo? ¿Podría haber elegido sólo el orden 1? ¿O 1 y 6? ¿O 1 y 3? Entiendo que querés decir que no necesariamente la intersección cumple con todos y cada uno de los órdenes.

Lo que quiero decir es que si tu quieres refutar la afirmación:  "si \( H,K \) son subgrupos de un grupo finito \( G \), tales que \( |H|=18 \) y \( |K|=24 \) los posibles órdenes de \( H\cap K \) son \( 2 \) y \( 3 \)", tienes que dar un ejemplo concreto de un grupo finito \( G \),y dos sugrupos \( |H|=18 \) y \( |K|=24 \) en los que el orden de \( |H\cap K| \) no sea ni \( 2 \) ni \( 6 \).

Por ejemplo: \( G=\mathbb{Z}_{18}\times \mathbb{Z}_{24},\quad H=\mathbb{Z}_{18}\times  \{0\},\quad K=\{0\}\times \mathbb{Z}_{24} \).

Saludos.