Hola a todos! El enunciado pide dar la solución general y particular de la siguiente relación de recurrencia,
y demostrarla por P.I.C., que no me sale:
\( a_n = 4a_{n-1} -4a_{n-2} \qquad n\geq{}2, \; a_0 = a_1 = 1 \)
\( x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow{} x_1 = x_2 = 2 \Rightarrow{} \boxed{a_n = A2^n + Bn2^n \quad \textrm{S.G.}} \)
\( a_0 = 1 = A \)
\( a_1 = 1 = 2 + 2B \rightarrow{} B = -\displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow{} a_n = 2^n - \displaystyle\frac{1}{2} n 2^n = \boxed{2^n \left(1 - \displaystyle\frac{1}{2}n \right) \quad \textrm{S.P.}} \)
Hasta acá todo bien, el problema viene a la hora de demostrar por P.I.C.
:
Paso base:
\( n = 0 \rightarrow{} a_0 = 1 \rightarrow{} 2^0 \left(1 - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot{} 0 \right) = 1 \rightarrow{} 1 = 1 ✓ \)
\( n = 1 \rightarrow{} a_1 = 1 \rightarrow{} 2^1 \left(1 - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot{} 1 \right) = 1 \rightarrow{} 1 = 1 ✓ \)
Paso inductivo:
\( \textrm{H.I.}\begin{cases}n = h \rightarrow{} a_h = 2^h \left( 1 - \displaystyle\frac{1}{2} h \right) \\ n = h - 1\rightarrow{} a_{h-1} = 2^{h -1} \left( 1 - \displaystyle\frac{1}{2} (h -1) \right)\end{cases} \)
\( \textrm{T.I.}\begin{cases} n = h + 1\rightarrow{} a_{h+1} = 2^{h +1} \left( 1 - \displaystyle\frac{1}{2} (h +1) \right) \end{cases} \)
Dem:
\( a_{h+1} = 4 \; a_h - 4 \; a_{h-1} \underbrace{=}_{\textrm{H.I.}} 4 \cdot{} 2^h \left( 1 - \displaystyle\frac{1}{2} h \right) -4 \cdot{} 2^{h -1} \left( 1 - \displaystyle\frac{1}{2} (h -1) \right) \). Hasta acá entendí, debo llegar mediante operaciones a \( a_{h+1} = 2^{h +1} \left( 1 - \displaystyle\frac{1}{2} (h +1) \right) \)... Con lo que hice no llegué.
¿Alguna ayuda? Gracias!
