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Hola, buenos días, no veo el último detalle de;

Sea \( Q(x, y) = 0 \) la ecuación de una hipérbola \( \mathbb{H} \), con invariantes métricos \( \Delta \), \( \delta \) y \( s \), siendo \( A \) la matriz principal de \( Q \). Demostrar que si \( \lambda \) es el valor propio de \( A \) con el mismo signo que \( \Delta \) , entonces el semieje principal de \( \mathbb{H} \) es \( a =\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-\Delta}{\delta \lambda}} \) y la dirección del eje principal es el subespacio propio de \( A \) asociado a dicho valor propio.

Nótemos que la ecuación reducida de una hipérbola es \( \left ( \displaystyle\frac{x}{a} \right )^2 - \left ( \displaystyle\frac{y}{b} \right )^2 = 1 \).
Tenemos que \( Q(x,y) = ax^2+ 2bxy + cy^2 + 2ex + 2fy +d \), que tras aplicar la primera reducción cambiando de referencial usando \( Q=\begin{bmatrix}{\alpha}&{\beta}\\{\beta}&{-\alpha}\end{bmatrix} \) con  \(  \alpha^2 + \beta^2 = 1 \). Se tendría
\( Q(x',y') = \lambda_{1}x'^2 + \lambda_{2}y'^2 + 2mx + 2ny + d \). Donde \( \lambda_{1} \),\( \lambda_{2} \) son los valores propios de la matriz principal \( A \). Ajustando cuadrados y aplicando una traslación del centro del referencial \( R' \), se tendría  \( Q(x',y')=\lambda_{1}x'^2 +\lambda_{2}y'^2 -q \), donde \( \Delta = \begin{bmatrix}{\lambda_{1}}&{0}&{0}\\{0}&{\lambda_{2}}&{0}\\{0}&{0}&{-q}\end{bmatrix}=-\lambda_{1}\lambda_{2}q  \), donde al ser una hipérbola \( \delta = \lambda_{1}\lambda_{2} < 0 \).

De \( Q(x',y') \) obtenemos la ecuación

\(
\lambda_{1}x'^2 +\lambda_{2}y'^2 = q \Leftrightarrow{}
\displaystyle\frac{x'^2}{q/\lambda_{1}} + \displaystyle\frac{y'^2}{q/\lambda_{2}} = 1 \Leftrightarrow{}



\left ( \displaystyle\frac{x'}{\sqrt[ ]{q/\lambda_{1}}} \right )^2 + \left ( \displaystyle\frac{y'}{\sqrt[ ]{q/\lambda_{2}}} \right )^2= 1

 \)

Luego se tiene que el semieje principal/real es \( a=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{q}{\lambda_{1}}}= \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{- \Delta}{\delta \lambda_{1}}}  \in \mathbb{R} \Leftrightarrow{} signo(\Delta) = signo(\lambda_{1}) \).

 Ahora no me queda claro cómo ver que la dirección del eje principal es el subespacio propio de \( A \) asociado a dicho valor propio

que en este caso es \( Ker(A-\lambda_{1}Idv) = \begin{bmatrix}\alpha\\{\beta}\end{bmatrix}  \) (la primera columna de \( Q \) ortogonal)

Gracias de antemano.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 No me queda claro cuál es tu duda:

 1) Es claro que en la nueva referencia el eje principal tiene la dirección \( (1,0) \).

 2) Como \( Q \) es la matriz de cambio de base (de la base en la nueva referencia a la base de partida) en la base de partida el eje principial es \( Q(1,0)^t \); justo la primera columna de \( Q \).

 3) El cambio de referencia que has hecho significa que la relación entre la matriz \( A \) principal de la cónica en la referencia de partida y la matriz \( A' \) de la matriz principal de la cónica en la referencia nueva es:

\( A'=Q^{-1}AQ \)

 donde \( A'=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\\\end{pmatrix} \)

 Equivalentemente \( QA'=AQ \) y eso significa que las columnas de \( Q \) son los autovalores de \( A \) asociados respectivamente a los autovalores \( \lambda_1 \) y \( \lambda_2 \).

Saludos.

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Entendido, me faltaba aclararme con lo que estaba subrayado, que son tus respuestas 1), y 2) Ahora todo me encaja.

Saludos