Buenos días, espero me puedan ayudar con algunas sugerencias para el siguiente ejercicio de álgebras de Lie.
Sea \( e_1,\ldots,e_{2n} \) la base canónica de \( \mathbb{R}^{2n} \) y considere \( E=Span(e_1,\ldots,e_{n}) \). \( O(2n) \) es el grupo ortogonal con álgebra de Lie \( \mathfrak{o}(2n) \). Definamos
\( C=\{A\in GL(2n;\mathbb{R})| A(E)\subset E\}. \)
(A) Sea \( \mathfrak{c}=Lie(C) \). Muestre que \( \mathfrak{c}=\{X\in M(2n;\mathbb{R})|X(E)\subset E\} \).
(B) Muestre que \( \mathfrak{o}(2n)+\mathfrak{c}=M(2n;\mathbb{R}) \).
(C) Deduzca que el mapa
\( O(2n)\times C \to GL(2n;\mathbb{R}), \quad(B,A)\mapsto BA^{-1} \)
Tiene derivada sobreyectiva en \( (I,I) \)
Esto es lo que hice
(A) Tengo que \( \mathfrak{c}=\{X\in \mathfrak{gl}(2n;\mathbb{R})|\forall t\in \mathbb{R},\exp(tX)\in C\} \) . Sea
\( V=\{X\in M(2n;\mathbb{R})|X(E)\subset E\} \)
Tengo que mostrar que \( V=\mathfrak{c} \).
(1) \( V\subset \mathfrak{c} \)
Sea \( X \in V \), i.e.\( X (E)\subset E \), probemos que
\( \exp(tX)\in C \), para todo \( t\in \mathbb{R} \)
\( \exp(tX)=I+tX+\dfrac{t^2}{2}X^2+\dfrac{t^3}{6}X^3+\cdots \)
Luego
\( \exp(tX)(E)=I(E)+(tX)(E)+\left(\dfrac{t^2}{2}X^2\right)(E)+\left(\dfrac{t^3}{6}X^3\right)(E)+\cdots \)
\( \exp(tX)(E)=E+t(X(E))+\left(\dfrac{t^2}{2}\right)X^2(E)+\left(\dfrac{t^3}{6}\right)X^3(E)+\cdots.........(*) \)
Como \( X(E)\subset E \) então \( X^n(E)\subset E \) para todo \( n\in\mathbb N \), entonces en (*) obtenemos
\( \exp(tX)(E)\subset E,\forall t\in\mathbb{R}\Rightarrow \exp(tX)\in C, \forall t\in\mathbb{R}. \)
Por lo tanto \( X\in \mathfrak{c} \), i.e. \( V\subset \mathfrak{c} \).
(2) \( \mathfrak{c}\subset V \)
Consideremos \( X\in \mathfrak{c} \), luego \( \exp(tX)\in C, \forall t\in\mathbb{R} \), entonces \( \exp(tX)(E)\subset E \), de aqui \( \gamma_X(t)(E)\subset E \), para todo \( t\in\mathbb{R} \). Así
\( \gamma_X(t)(e_k)=a_1(t)e_1+...+a_n(t)e_n \)
Luego
\( \gamma'_X(0)(e_k)=a_1'(0)e_1+...+a_n'(0)e_n\Rightarrow X(e_k)=a_1'(0)e_1+...+a_n'(0)e_n\in E \)
Lo que da
\( X(E)\subset E \), entonces
\( X\in V \), i.e, \( \mathfrak{c}\subset V \).
DE (1) y (2) obtenemos \( \mathfrak{c}=V \)
(B) Si \( X\in\mathfrak{c} \), entonces \( X(E)\subset E \), y esto implica qur el subespacio \( E \) es \( X- \)invariante, y creo que tengo que usar alguna propiedad de subespacios invariantes.
Muchas gracias
