[SP]

Hola buenas noches!
Tengo el lunes examen de física y estaba haciendo problemas, he llegado a uno que no cae en el examen pero que soy incapaz de resolver. Si no estuviera estudiando le dedicaría lo que fuera de tiempo pero ahora me escasea y me vendría bien saber que estoy haciendo mal. Os pido que planteéis el problema 106

P. 106) El cono de la figura rueda sin deslizar sobre el plano horizontal \( XY \) de un triedro de referencia \( S(O;X,Y,Z) \). El eje \( OC \) del cono está girando alrededor del eje \( Z \) con velocidad angular constante \( \vec \Omega_0=\Omega\vec k \). Si \( \vec \Omega \) y \( \vec \alpha \) son la velocidad angular y la aceleración angular del cono, respectivamente, en el instante mostrado, se puede decir que:

A) \( \vec \Omega =(\Omega_0/tan \beta)\vec j \)

B) \( \vec \alpha=\left(\Omega_0^2/tan \beta\right)\vec i \)

C) \( \vec \alpha =\vec 0 \)

D) El eje \( Z \) es el eje instantáneo de rotación del cono.

E) El eje \( OC \) es el eje instantáneo de rotación del cono.

Examen Final 28/06/2013



(está adjunto), el del cono. La respuesta correcta es la B, marcada en negrita. Gracias de antemano.

*Si además os sentís abrumadoramente generosos o para vosotros es muy fácil estaría bien que lo resolviérais en cualquier papel y subiérais una foto del mismo.

[Richard R Richard]

 Este me ha dejado perplejo,  hace tanto que no resuelvo pero me parece intuitivo que en el problema 106 , el del cono, las únicas respuestas que encuentro correctas son la A) y la C). Si bien la B ) esta bien en modulo los ejes no son perpendiculares por lo que no apunta exactamente en la direccion $$\vec i$$  o falta un sub índice., pues el eje del cono  tampoco apunta exacto a $$\vec j$$ la A tampoco estaría correcta
$$\vec \alpha_0=\vec \Omega_0\times\vec \Omega=\vec \Omega_0\times\vec \Omega_0/\tan \beta$$   
y solo $$\vec\alpha=|\vec\alpha|\vec i$$ si $$\vec\Omega_0 \perp\vec \Omega$$

[delmar]

Hola

Interesante problema analizando, O,C, A son puntos de un cuerpo rígido (el cono), se puede conocer la cinemática de estos puntos en el tiempo, O y C son puntos rígidos determinados; pero A es un punto del cono que varía en el tiempo.

Cinemática de C

C tiene como trayectoria una circunferencia de radio \( R=L cos^2 \beta \) que esta en el plano \( z=L cos \beta \  sen \beta \) y cuyo centro es el punto \( (0,0,L cos \beta \  sen \beta) \), y esto por formar parte del eje OC, que esta girando alrededor del eje Z con velocidad \( \Omega _0 \vec{k} \). Su movimiento genérico usando como parámetro  \( \theta \), definido como el ángulo entre OP y el eje positivo de las X, donde P, es la proyección de C sobre el plano XY; es :

\( r_C(t)=L cos^2 \beta \ \ cos \theta \vec{i}+L cos^2 \beta  \ sen \theta\vec{j}+L cos \beta \  sen \beta \ \vec{k} \)

Donde \( \theta \) es una función del tiempo t, \( \theta'=\Omega_0 \wedge \theta''=0, \ \ \forall{t}\geq{0} \) y considerando que la figura muestra t=0 evidentemente \( \theta=\pi/2 \)

\( v_C(t)=-L cos^2 \beta \ \ sen \theta \  \Omega_0 \vec{i}+L cos^2 \beta  \ cos \theta \ \Omega_0 \vec{j} \)

Cinemática de A

Es un punto del cono que esta en contacto con el plano XY en el momento t su velocidad es cero, por no haber deslizamiento.

Cinemática de O

Es un punto del cono que en todo momento tiene la posición del origen y esta en reposo e incluso su aceleración también es cero.

Para cualquier par de puntos de un cuerpo rígido, hay una relación  de velocidades que se cumple  :


Para O y A

\( V_A=V_O+ \vec{w} \ x \ \vec{OA} \)

\( 0=0+(w_x\vec{i}+w_y\vec{j}+w_z\vec{k}) \ \ x \ \ (L cos \theta \vec{i}+ L sen \theta \vec{j}) \) esto implica en las direcciones x,y,z respectivamente :

\( -w_z \ L sen \theta=0 \)

\( w_z L cos \theta=0 \)

\( w_x L sen \theta=w_y \ L \ cos \theta \)

Por lo tanto \( \forall{\theta}, \ w_z=0 \wedge w_x  sen \theta=w_y  \ cos \theta  \)

Para O y C

\( V_C=V_O+ \vec{w} \ \ x \ \ \vec{OC} \)

\( -L cos^2 \beta \ \ sen \theta \  \Omega_0 \vec{i}+L cos^2 \beta  \ cos \theta \ \Omega_0 \vec{j}=(w_x\vec{i}+w_y\vec{j}+w_z\vec{k}) \ \ x \ \ (L cos^2 \beta \ \ cos \theta \vec{i}+L cos^2 \beta  \ sen \theta\vec{j}+L cos \beta \  sen \beta \ \vec{k}) \)

Desarrollando se tiene en las direcciones x,y,z respectivamente :

\( -cos \beta \ sen \theta \ \Omega_0=-w_z cos \beta \ sen \theta +w_y sen \beta \) Ec X

\( cos \beta \ cos \theta \ \Omega_0=w_z cos \beta \ cos \theta -w_x sen \beta \) Ec Y

\( w_x sen \theta=w_y cos \theta \)

Pero \( w_z=0 \) entonces las Ecuaciones en las direcciones X e Y derivando quedan :

\( -cos \beta sen \theta \Omega_0=w_y sen \beta\Rightarrow{w_y=\displaystyle\frac{-cos \beta sen \theta \Omega_0}{sen \beta}}\Rightarrow{\alpha_y=\displaystyle\frac{-cos \beta \ cos \theta \  \Omega_0^2}{sen \beta}} \) Ec 1

\( cos \beta \ cos \theta \ \Omega_0=-w_x sen \beta\Rightarrow{w_x=\displaystyle\frac{-cos \beta \ cos \theta \ \Omega_0}{sen \beta}}\Rightarrow{\alpha_x=\displaystyle\frac{cos \beta \ sen \theta \ \Omega_0^2}{sen \beta}} \) Ec 2

Para \( t=0, \ \theta =(\pi/2)\Rightarrow{w_z=w_x=0 \wedge w_y=\displaystyle\frac{-\Omega_0}{tan \beta}} \wedge \alpha_z=0, \ \alpha_x=\displaystyle\frac{\Omega_0^2}{tan \beta}, \ \ \alpha_y=0 \)

Por lo tanto :

\( \vec{w}=\displaystyle\frac{-\Omega_0}{tan \beta}\vec{j} \) No es la A

\( \vec{\alpha}=\displaystyle\frac{\Omega_0^2}{tan \beta}\vec{i} \) Es la B


Saludos

[Richard R Richard]

Tienes razón , el signo en a) es el opuesto, y en b)  instantáneamente si tiene dirección $$\vec{i}$$