[Carlei]

Hola tengo un problema...no puedo demostrar que son del mismo rango...me podrian ayudar por favor.
Dos matrices n×m C y C' se denominan equivalentes, si existe una matriz regular n×n A y una matriz regular m×m B tales que C' = ACB. Demuestre que dos matrices sonequivalentes si y solo si tienen el mismo rango.

[Fernando Revilla]

Dos matrices n×m C y C' se denominan equivalentes, si existe una matriz regular n×n A y una matriz regular m×m B tales que C' = ACB. Demuestre que dos matrices sonequivalentes si y solo si tienen el mismo rango.

Lo más elegante es usar aplicaciones lineales. Dos matrices \( C \) y \( C' \) son equivalentes si y sólo si representan la misma aplicación lineal \( f \) en diferentes pares de bases (eventualmente las mismas). Por otra parte, el rango de la matriz de una aplicación \( f \) con respecto a cualquier par de bases es \( \dim\text{Im }f \). Puedes concluir.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola tengo un problema...no puedo demostrar que son del mismo rango...me podrian ayudar por favor.
Dos matrices n×m C y C' se denominan equivalentes, si existe una matriz regular n×n A y una matriz regular m×m B tales que C' = ACB. Demuestre que dos matrices sonequivalentes si y solo si tienen el mismo rango.

También se puede demostrar mediante transformaciones elementales, teniendo en cuenta que toda matriz inversible se descompone en producto de transformaciones elementales y que toda transformación elemental conserva el rango.

De todas formas es importante un detalle: hay muchas formas de demostrar la propiedad que citas y el elegir una u otra depende en gran medida de los resultados previos que puedas utilizar; desde saber la definición de rango que usas a conocer las propiedades del mismo que ya te han probado.

Saludos.

[jpsilva]

Gracias..eso era lo que habia echo.
Pero me dijieron que la forma correcta era demostrar que dos matrices son equivalentes si tienen el mismo rango.
Y la otra demostracion es, que dos matrices del mismo rango son equivalentes.
Y eso me ha descolocado bastante...alguien tiene alguna idea de como hacerlo?

[Fernando Revilla]

¿Sois carixto y jpsilva la misma persona?

[sugata]

No..no lo somos es mi pareja y usa mis cosas a veces y seguro su sesion quedo abierta en mi celular.

Entiendo que ha sido un fallito. Procurad que no pase para no volver locos a los que quieren responder.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias..eso era lo que habia hecho.

¿Eso?¿El qué?. ¿El camino propuesto por Fernando o por mi?.

Pero me dijieron que la forma correcta era demostrar que dos matrices son equivalentes si tienen el mismo rango.
Y la otra demostracion es, que dos matrices del mismo rango son equivalentes.
Y eso me ha descolocado bastante...alguien tiene alguna idea de como hacerlo?

¿Qué es lo que te ha descolocado? Lo que supongo que te están diciendo es que si tienes que probar que dos matrices son equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango, dividas la prueba en dos pasos.

1- Probar que si son equivalentes tienen el mismo rango.
2- Probar que si tienen el mismo rango son equivalentes.

La parte (1) puede probarse como te dije usando que toda matriz de descompone en producto de matrices elementales y éstas conservan el rango.

La parte (2) puede probarse demostrando que mediante operaciones elementales cualquier matriz es equivalente a una formada por ceros y tantos unos en la diagonal como el rango de la matriz.

Otra forma de probar conjuntamente ambos pasos es el enfoque de Fernando.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Si eso es lo que estoy haciendo. Mil gracias.
Pero la parte (2) de tu consejo no me es del todo claro. Como deberia escribir eso?

Pues el algo sencillo de entender, pero incómodo de escribir si uno quiere ser muy riguroso.

Una vez más también es decisivo saber que resultados previos conoces. Una idea:

- Toda matriz puedes transformarse mediante operaciones fila en una matriz escalonada con tantas filas no nulas como su rango.
- Después, dividiendo cada fila no nula por su primer término se tiene que los pivotes de cada escalón son unos.
- Después puede transformarse mediante operaciones columnas usando esos pivotes en una matriz como la que te indiqué: todo ceros excepto en la diagonal, con tantos unos allí como filas no nulas, como el rango.

Saludos.