La resolución es cierta: \( g(x)=f(x)-x \) es una función continua (diferencia de funciones continuas) en \( [0,1] \)
Se tiene :
\( g(0)=f(0)-0=f(0) \), pero \( f(0)\geq{0}\Rightarrow{f(0)=g(0)\geq{0}} \) Inec. 1
\( g(1)=f(1)-1 \), pero \( f(1)\leq{1}\Rightarrow{f(1)-1=g(1)\leq{0}} \) Inec. 2
Considerando las diversas situaciones :
La Inec. 1 implica que si g(0)=0 entonces f(0)=0, demostrado el teorema \( c=0 \)
La Inec. 2 implica que si g(1)=0 entonces \( f(1)-1=0 \Rightarrow{ f(1)=1} \) demostrado el teorema \( c=1 \)
Entonces hay que demostrar que existe c, cuando \( g(0)>0 \ \wedge \ g(1)<0 \)
Aca se aplica el teorema de Bolzano, lo enuncio : "si una función h es continua en un intervalo [a,b] y los valores de la función tienen distintos signos en a y en b entonces existe un c tal \( h(c)=0 \)"
En nuestro caso a=0, b=1 y la función es g por ser de distintos signos en 0 y en 1 existe un c tal que \( g(c)=0\Rightarrow{f(c)-c=0}\Rightarrow{f(c)=c} \)
Saludos
