[Quema]

Se que este tema esta ligado con otro anterior. Si tengo una distribucion acumulad a \( H(x)=aF(x)+(1-a)G(x) \)siendo la v.a. \( Z,X,Y \)de cada distribucion acumulada respectivamente. Ahora quiero hallar la
\( E(Z)=\displaystyle\int_{a}^{b}xdH(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}xd(aF(x)+(1-a)G(x)) \)
\( E(Z)=aE(X)+(1-a)E(Y) \). Ahora si hallo la función de densidad de \( H \)es \( h(x)=af(x)+(1-a)g(x) \)
Y esta igualdad no se tiene por que cumplir, entonces qué estoy haciendo mal con el operador diferencial.

Por qué lo digo, si \( Z=aX+(1-a)Y \)entonces \( E(Z)=aE(X)+(1-a)E(Y) \), supongamos que el soporte de estas variables sea \( [0,1] \)entonces \( h(0)=P(X=0,Y=0)=pq \) siendo \( P(X=0)=p,P(Y=0)=q \)si \( X,Y \)son independientes. Ahora \( h(0)=af(0)+(1-a)g(0) \)y esto no tiene pq ser igual a \( pq\neq{}ap+(1-a)q \). Entonces \( H(x) \)no puede ser la distribucion acumulada de \( Z=aX+(1-a)Y \)


Gracias Manco

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero que \( E(Z)=aE(X)+(1-a)E(Y) \) no quiere decir que \( Z=aX+(1-a)Y \).

 Tampoco que \( Z=ax+(1-a)Y \) quiere decir que la función de distribución de \( Z \) sea \( H(x)=aF(X)+(1-a)G(X) \). Entonces no hay contradicción. ¿No?.

Asi, en tu ejemplo no es cierto que la función de distribución de \( Z \) sea,

\(  H(x)=aF(x)+(1-a)G(x) \)

Saludos.

[Quema]

El pasito, que no me queda claro es que si tengo una función de distribución acumulada \( F(x)=aG(x)+(1-a)H(x) \)de una v.a. \( X \)entonces si calcula su esperanza, es correcto esto?
\( \displaystyle\int_{a}^{b}xdF(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}xd(aG(x)+(1-a)H(x)) \) y luego me queda la suma de dos integrales.

[Luis Fuentes]

Hola

 Creo que si: es correcto.

Saludos.