Hola
Hola buenas noches, alguna indicación para la prueba;
Sean \( A \) y \( A' \) dos matrices reales simétricas \( 2×2 \) no nulas con \( |A| =|A'| = 0 \). Demostrar que \( AA'= 0 \) si, y sólo si, existe una matriz ortogonal
\( Q ∈ M_{2×2}(\mathbb{R} \)) tal que \( Q^tAQ =\begin{bmatrix}{\lambda }&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \) y \( Q^tA'Q = \begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{\lambda' }\end{bmatrix} \) para ciertos \( \lambda , \lambda '∈ R - \{0\} \).
Por ser \( A \) simétrica es ortogonalmente diagonalizable, es decir, existe una matriz \( Q \) ortogonal tal que \( Q^tAQ \) es diagonal. En particular por tener determinante cero uno de los valores de la diagonal necesariamente es nulo y así permutando las columnas de \( Q \) si fuese necesario:
\( Q^tAQ =\begin{pmatrix}{\lambda }&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix} \)
Como la matriz \( A \) es no nula, \( \lambda\neq 0 \).
Ahora si:
\( AA'=0\quad \Rightarrow \quad Q^tAA'Q=0\quad \Rightarrow \quad Q^tAQQ^tA'Q=0 \)
Si llamamos \( Q^tA'Q=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{b}&{c}\\\end{pmatrix} \) entonces:
\(
\begin{pmatrix}{\lambda }&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{b}&{c}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\\\end{pmatrix} \)
Y multiplicando:
\( \lambda a=0,\quad \lambda b=0 \)
Como \( \lambda\neq 0 \) se deduce que \( a=b=0 \) y así:
\( Q^tA'Q=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{b}&{c}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}&{0}\\{0}&{c}\\\end{pmatrix} \)
Saludos.
