[statistic_man]

Estoy interesado en resolver el siguiente problema: Un libro tiene 50 páginas y 4 erratas.

a) ¿De cuántas maneras pueden estar distribuidos?

b) ¿Y si no hay dos en la misma página?

Para el apartado 1, defino el conjunto \( E=\{(x_1,x_2,...,x_{50}): x_1+x_2+...+x_{50}=4, x_i \geq0\} \). Hallar el número de soluciones de esa ecuación es equivalente a forma una lista de 54 elementos, donde se repiten 50 unos, y 4 x (erratas). Contar el número de listas que pueden formarse con esos elementos es equivalente a hallar las soluciones. Luego \( |E|=\frac{53!}{49! 4!}=292825 \) formas.

Para el b) tengo dudas. Dice que no hay dos erratas en la misma página, luego necesariamente suele puede haber 1 errata por página o ninguna. Así que \( E=\{(x_1,x_2,...,x_{50}): x_1+x_2+...+x_{50}=4,0 \leq x_i \leq 1\} \) Para resolver este problema, se me ocurre recurrir al complementario. Es decir, \( |E|=|X|-|E^c| \) siendo \( E^c=\{(x_1,x_2,...,x_{50}): x_1+x_2+...+x_{50}=4,2 \leq x_i \} \).

El caso es que no sé continuar. Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Estoy interesado en resolver el siguiente problema: Un libro tiene 50 páginas y 4 erratas.

a) ¿De cuántas maneras pueden estar distribuidos?

b) ¿Y si no hay dos en la misma página?

Para el apartado 1, defino el conjunto \( E=\{(x_1,x_2,...,x_{50}): x_1+x_2+...+x_{50}=4, x_i \geq0\} \). Hallar el número de soluciones de esa ecuación es equivalente a forma una lista de 54 elementos, donde se repiten 50 unos, y 4 x (erratas). Contar el número de listas que pueden formarse con esos elementos es equivalente a hallar las soluciones. Luego \( |E|=\frac{54!}{49! 4!}=292825 \) formas.

Tienes \( 49 \) saltos de página y \( 4 \) erratas indistinguibles (o indistinguidas), y hay que considerar todas las formas en que pueden ordenarse. Hay que seleccionar \( 4 \) lugares entre \( 53 \) donde colocar las erratas, los demás estarán ocupados por los saltos de página. Será \( \displaystyle\binom{49+4}{4} = \displaystyle\frac{53!}{4!49!} = 292825 \).

Tu resultado numérico está bien, pero el simbólico no: \( \frac{54!}{49! 4!} = 15812550 \)

Para el b) tengo dudas. Dice que no hay dos erratas en la misma página, luego necesariamente suele puede haber 1 errata por página o ninguna. Así que \( E=\{(x_1,x_2,...,x_{50}): x_1+x_2+...+x_{50}=4,0 \leq x_i \leq 1\} \) Para resolver este problema, se me ocurre recurrir al complementario. Es decir, \( |E|=|X|-|E^c| \) siendo \( E^c=\{(x_1,x_2,...,x_{50}): x_1+x_2+...+x_{50}=4,2 \leq x_i \} \).

Esto es mucho más sencillo hay que colocar cuatro erratas en cuatro páginas distintas: \( \displaystyle\binom{50}{4} = \displaystyle\frac{50!}{4!46!}=230300 \)

Saludos,