[nico]

Hola a todos, necesitaría alguna sugerencias para poder realizar el siguiente ejercicio:
Sea \( \phi(x)=\displaystyle\frac{x}{2}(\sen(\ln(x)) - \cos(\ln(x))) \)
Clasificar:

i) \( \displaystyle\sum \phi(1+\displaystyle\frac{1}{n}) \)

ii)  \( \displaystyle\sum \phi(1+\displaystyle\frac{(-1)^n}{n}) \)

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Ten en cuenta que:

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \phi(1+\dfrac{1}{n}) = \lim_{n \to +\infty} \phi(1+\dfrac{(-1)^n }{n}) = -\dfrac{1}{2} \cdot \cos(0)  \)

[Ignacio Larrosa]

Hola a todos, necesitaría alguna sugerencias para poder realizar el siguiente ejercicio:
Sea \( \phi(x)=\displaystyle\frac{x}{2}(sen(ln(x) - cos(ln(x)) \)

Supongo que se trata de \( \phi(x)=\displaystyle\frac{x}{2}(sen(ln(x)) - cos(ln(x))) \)

(faltaban un par de paréntesis cerrados)

Clasificar:

i) \( \displaystyle\sum \phi(1+\displaystyle\frac{1}{n}) \)

El límite del término general es \( \phi(1) = -\dfrac{1}{2} \), luego la serie es divergente hacia \( -\infty \).

ii)  \( \displaystyle\sum \phi(1+\displaystyle\frac{(-1)^n}{n}) \)

Agrupando un término impar con el par que le sigue, tenemos que

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left(\phi(1 -1/n) + \phi\left(1 + \dfrac{1}{n+1}\right)\right) } = -\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2} = -1 \)

por lo que también es divergente a \( -\infty \).

Saludos,

P.S.: En realidad, no es necesario agregar los términos consecutivos, tanto si \( n \) es par como impar, el término general tiende a \( -\infty \), de lo cual ya se concluye.

[nico]

Hola muchas gracias por sus respuestas,  ya corregí los paréntesis.
Saludos