[zimbawe]

Hola, me podrían dar alguna sugerencia de cómo demostrar esto, por favor.
Probar que si \( {a_n} \) converge entonces
\( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{a_{n+1}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n} \)
Mil gracias.

[Masacroso]

Usa la definición de límite de una sucesión. Asume que los límites son distintos y busca una contradicción.

[zimbawe]

Voy a acatar tu sugerencia a ver cómo me va.

[zimbawe]

Hola, no logro llegar a la contradicción.
Como \( {a_n} \) converge, entonces:
\( {a_n}\leq{M} \) para toda n.
Ahora sea:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=a \)
Entonces para todo, \( n\geq{M} \) existe \( e>0 \) tal que:
\( \left |{a_n}-a\right |<e \)

Supongo que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_{n+1}}=a´ \)

Entonces para todo, \( n+1\geq{M} \) existe \( e>0 \) tal que:
\( \left |a_{n+1}-a´\right |<e \) 

No sé como proseguir, como involucro estas desigualdades?

[delmar]

Hola

No lo he intentado por la forma que propone Masacroso, como práctica es conveniente intentarlo. Pero si hay otra forma la detallo .

Suponiendo \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=A \). La definición de límite implica :

\( \forall{\epsilon>0}, \ \ \exists{N}\in{Z^+} \ \ | \ \ \left |{a_n-A}\right |<\epsilon, \ \ si \ \ n\geq{N} \)

Por otra parte :

\( 1>0, \ \ si \ \ n\geq{N}\Rightarrow{n+1>N} \), esto junto con la definición anterior implican :

\( \forall{\epsilon>0}, \ \ \exists{N}\in{Z^+} \ \ | \ \ \left |{a_{n+1}-A}\right |<\epsilon, \ \ si \ \ n\geq{N} \)

Por definición de límite : \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_{n+1}}=A \)



Saludos

[zimbawe]

Gracias, estaba dando vueltas en un círculo vicioso.

[Masacroso]

De la definición de límite de una sucesión una posible demostración por contradicción podría ser ésta: primero observar que \( |x_n-L|<\epsilon \) también se puede escribir como \( x_n\in(L-\epsilon,L+\epsilon) \) para todo \( n\ge N \) para algún \( N\in\Bbb N \). Entonces si \( \lim x_n=L_1 \) y \( \lim x_{n+1}=L_2 \) son distintos tenemos que \( M:=|L_1-L_2|>0 \), por lo cual tomando \( \epsilon=M/2 \) tendríamos que \( (L_1-M/2,L_1+M/2)\cap(L_2-M/2,L_2+M/2)=\emptyset \) y existirían \( N_1,N_2\in\Bbb N \) tales que

\( \displaystyle \begin{matrix}x_n\in(L_1-M/2,L_1+M/2),\quad \forall n\ge N_1\\x_n\in(L_2-M/2,L_2+M/2),\quad\forall n\ge N_2\end{matrix}\implies \begin{matrix}x_n\in(L_1-M/2,L_1+M/2)\\x_n\in(L_2-M/2,L_2+M/2)\end{matrix}\quad ,\quad\forall n\ge N \)

para \( N:=\max\{N_1,N_2\} \), lo cual es imposible ya que los intervalos son disjuntos. Pero ahora veo que esto es extremadamente complicado y poco intuitivo. Lo siento, en principio había supuesto que sería más sencillo pero luego me he dado cuenta que no.