Saludos,
Se me definen los términos \( a_1 = 8 \) y \( a_{ n+1 } =\frac{1}{2}a_n + 2 \) para todo \( n \in \mathbb{N} \). De donde debo hallar el limite de la sucesión \( \{ a_n \} \).
Mediante inducción, pude probar que la sucesión es monótona decreciente \( (a_n\geq a_{n+1}) \) y también que es acotada \( (10>a_n) \). Por tanto la sucesión es convergente y \( \displaystyle\lim_{ n\to\infty } a_{ n } \) existe y es finito.
Una pista que me dan es que \( \displaystyle \lim_{ n\to\infty } a_{ n+1 } = \lim_{ n\to\infty } a_{ n } \).
Yo asumí que \( \displaystyle\lim_{ n\to\infty } a_{ n }=L \). Luego De la pista que me dan obtengo que \( \displaystyle \lim_{ n\to\infty } \frac{1}{2} a_{n}+2 = \lim_{ n\to\infty } a_{n} \), de donde, \( \displaystyle \frac{1}{2} L+2 = L \). Por tanto \( L=4 \).
Sin embargo a esto no le encuentro mucho sentido pues, como \( a_1=8,a_2=6,a_3=6,a_4=6,... \) me parece que la sucesión debe tener su limite en 6.
La cuestión es que no veo el error en mi razonamiento.
